7.5.2. Непрерывная случайная величина.

Непрерывная случайная величина в результате испытания может принимать значения на некотором интервале. Непрерывная случайная величина считается заданной, если известен вид ее функции распределения вероятностей или функции плотности вероятности.

Функцией распределения вероятностей случайной величины называют функцию одной переменной f такую, что f(x)=P(X<x).

Свойства функции распределения.

1. Для любого значения функции распределения заключены в промежутке .

2. ; .

3. является неубывающей функцией.

4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал [x₁,x₂) вычисляют по формуле P(x₁≤X<x₂)=f(x₂)–f(x₁).

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет конкретное значение a, равно нулю, то есть P(X=a)=0 для любого числа a.

Функцией плотности вероятности непрерывной случайной величины X называют функцию , удовлетворяющую следующим условиям:

1. определена при всех ;

2. во всей области определения;

3. .

Свойства функции плотности вероятности.

1. Функция распределения выражается через функцию плотности по формуле .

2. Функция плотности равна первой производной от функции распределения: .

3. Для функции плотности справедливо условие нормировки: .

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называют число , при условии, что интеграл сходится.

Дисперсией непрерывной случайной величины X называют число

,

если интеграл правой части сходится. Для дисперсии непрерывной случайной величины X справедливо равенство: .

Непрерывную случайную величину X называют нормально распределенной с параметрами a и (a, – постоянные, ), если ее плотность распределения имеет вид , где a – математическое ожидание, – стандартное отклонение случайной величины : M(X)=a, =σ. Функция распределения случайной величины X с нормальным законом распределения, имеет вид: . Вероятность того, что случайная величина X, распределенная по нормальному закону с параметрами a и σ, примет значение, принадлежащее интервалу (x₁,x₂), вычисляют по формуле: .

Пример 1. Случайная величина X задана плотностью вероятности . Найдите коэффициент c; вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала (-1;1).

Решение. Коэффициент можно найти из условия нормировки: . В нашем случае:

В результате c=1/π.

Вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала (-1;1), вычисляют по формуле .

.

Ответ: 1/π; 0,5.

Пример 2. Предполагая, что pH крови человека подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием a=7,4 и стандартным отклонением σ=0,2, найдите вероятность того, что у произвольно выбранного человека уровень pH находится между 7,3 и 7,5.

Решение. Случайная величина X – уровень pH крови – имеет нормальное распределение. Искомая вероятность будет равна:

.

Ответ: 0,38292.

Упражнения.

7.5.22. Случайная величина X задана функцией распределения Найдите вероятность того, что в результате испытания X примет значение от 0 до 2. Ответ: 0,5.

7.5.23. Случайная величина X задана функцией распределения

Найдите плотность распределения вероятностей, постройте графики функции распределения и функции плотности.

Ответ:

7.5.24. Случайная величина X задана функцией плотности вероятности: Найдите M(X). Ответ: 2.

7.5.25. Задана функция плотности вероятности:

случайной величины X. Найдите: а) коэффициент c; б) вероятность того, что случайная величина X примет какое-либо значение, большее 1; в) математическое ожидание и дисперсию X Ответ: 0,5; 0,75; 4/3; 2/9.

7.5.26. Задана функция плотности вероятности случайной величины X: Найдите c и вероятность того, что –π/4≤ X ≤π/4. Ответ: 0,5; √3/2.

7.5.27. Пусть случайная величина X распределена нормально с параметрами a=30, σ=20. Найдите вероятность того, что X примет значение от 10 до 50. Ответ: 0,9544.

7.5.28. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами a=0, σ=1. Найдите выражение для функции плотности вероятности φ и функции распределения f. Найдите вероятность события 1,25≤X≤2,55. Ответ: φ(x)= , f(x)=0,5+Ф(x), 0,0934.

7.5.29. Функция плотности вероятности нормального распределения имеет вид φ(x)=c . Найдите константу c, стандартное отклонение σ, функцию распределения f, вероятность события 2≤X≤5. Ответ: c= , σ=3, f(x)=0,5+ , 0,3413.

7.5.30. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчиняются нормальному закону с параметрами a=20 км, σ=100 м. Найдите вероятность того, что расстояние между этими пунктами: а) от 19 до 22 км; б) не менее 18 км; в) не более 21 км. Ответ: 1; 1; 1.

7.5.31. Вес груза одного вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и стандартным отклонением 2 т. Найдите вероятность того, что вес груза очередного вагона не превышает 70 т. Ответ: 0,9938.

7.5.32. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием, равным 10. Вероятность того, что она примет какое-нибудь значение из промежутка [10;20], равна 0,3. Найдите вероятность того, что она примет какое-либо значение, большее 13. Ответ: 0,41.

7.5.33. Размер диаметра детали, выпускаемой цехом, распределен по нормальному закону с параметрами a=8 см, σ²=0,49 см². Найдите вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) составит от 7 до 10 см; б) отличается от математического ожидания по абсолютной величине не более, чем на 1 см. Ответ: 0,92; 0,85.

7.5.34. Найдите вероятность того, что значение непрерывной нормально распределенной случайной величины окажется в интервале: а) (a–2σ, a+2σ), б) (a–3σ, a+3σ), где a – математическое ожидание, σ - стандартное отклонение этой величины. Ответ: 0,9545; 0,9973.

7.5.35. Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами: a =164 см и σ=5,5 см. Найдите интервал, в котором с вероятностью 0,95 заключен рост взрослой женщины. Ответ: (153 см; 175 см).

7.5.36. Длина куска обоев в рулоне – случайная величина, распределенная нормально с математическим ожиданием 18 м и дисперсией 0,09 м².В каких границах с вероятностью 0,9545 заключена длина куска в случайно выбранном рулоне обоев? Ответ: (17,4 м; 18,6 м).

7.5.37. Известно, что вес некоторых плодов, выращиваемых в совхозе, подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием 175г и Определить вероятность того, что вес наудачу взятого плода будет: а) заключен в пределах от 125 до 250г; б) не менее 250г; в) не более 300г.

7.5.38. Случайная величина Х-время ожидания отправления груза – имеет равномерное распределение на отрезке [0;20]. Найти ее математическое ожидание, дисперсию, и вероятность того, что ?

7.5.39. Плотность распределения вероятности некоторой случайной величины дается соотношением

Найти функцию распределения.

10.5.40. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

Требуется найти: а) плотность распределения f(x); б) вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (1/2, 1); в) построить графики функций F(x) и f(x).

10.5.41. Длина стебля некоторого растения – нормально распределенная случайная величина со средним значением 75 см и средним квадратическим отклонением 20 см. Определить сколько процентов растений будут иметь длину стебля не менее 60 см?

10.5.42. Средняя глубина посева семян составляет 4см; отдельные отклонения от этого значения случайны, распределены нормально со средним квадратическим отклонением 0,6 см. Определить: 1) долю семян, глубина посева которых будет отклоняться от среднего значения не более, чем на 1см; 2) во сколько раз измениться эта величина, если среднее квадратическое отклонение увеличится в 1,5 раза?