7.2. Классическое определение вероятности.

Под стохастическим экспериментом в теории вероятностей принято понимать эксперимент, который можно проводить заново с теми же начальными условиями. Результатом эксперимента является исход.

Исходы называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других исходов в одном и том же испытании.

Равновозможными исходами называют исходы, о которых есть основание считать, что ни один из них не является более возможным, чем другие.

Совокупность исходов называют полной группой исходов, если в результате испытания появится хотя бы один из них.

Множество исходов одного эксперимента образуют событие. События можно разделить на три категории: достоверные, невозможные, случайные.

Достоверным событием (обозначают Ω) в данном испытании называют событие, которое неизбежно произойдет при этом испытании.

Невозможным событием (обозначают ) в данном испытании называют событие, которое заведомо не произойдет при этом испытании.

Случайным событием в данном испытании называют событие, о котором нельзя заранее предсказать произойдет оно или нет. Случайные события обозначают большими латинскими буквами: A, B, C, … .

Благоприятствующим некоторому событию исходом называют исход, появление которого влечет за собой появление события.

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов, образующих полную группу. Вероятность события A обозначают P(A) и вычисляют по формуле: P(A)=m/n.

Свойства вероятности.

1. Вероятность невозможного события равна нулю: P( )=0.

2. Вероятность достоверного события равна единице: P(Ω)=1.

3. Вероятность случайного события удовлетворяет неравенству: 0≤P(A)≤1.

Пример 1. В корзине находятся пять зеленых шаров. Из нее наугад извлекают один шар. Найдите вероятность того, что извлеченным окажется: а) белый шар; б) зеленый шар. в) В корзину добавили два синих шара. Найдите вероятности событий, описанных в пунктах а), б).

Решение. а) Событие A – из корзины с пятью зелеными шарами извлечен один белый шар – является невозможным. Вероятность события A равна нулю.

б) Событие B – из корзины с пятью зелеными шарами извлечен один зеленый шар – является достоверным. Вероятность события равна единице.

в) Событие C – из корзины с пятью зелеными и двумя синими шарами извлечен один белый шар – является невозможным. Вероятность события C равна нулю. Событие D – из корзины с пятью зелеными и двумя синими шарами извлечен один зеленый шар – является случайным. Поскольку семь (n=7, по общему числу шаров) несовместных равновозможных исходов образует полную группу, из которых только пять (m=5, по числу зеленых шаров) являются благоприятствующими событию D, то вероятность события D равна 5/7.

Ответ: 0; 1; 0; 5/7.

Пример 2. В магазине двенадцать телевизоров. Найдите вероятность того, что их продадут в разные месяцы данного года, если продажа в любой месяц равновозможна.

Решение. Событие A – двенадцать телевизоров продадут в разные месяцы года. Каждый телевизор может быть продан в любой из двенадцати месяцев года, то есть общее число равновозможных несовместных исходов, образующих полную группу, по правилу произведения будет равно . Учитывая, что телевизоры должны быть проданы в разные месяцы года, число благоприятствующих событию A исходов равно Искомая вероятность события A равна P(A)= ≈ 0,00005. Ответ: 0,00005.

Упражнения.

7.2.1. Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру и набрал ее наугад. Какова вероятность того, что номер набран правильно? Ответ: 0,1.

7.2.2. Из десяти лотерейных билетов выигрышными являются два. Определите вероятность того, что взятый наудачу билет окажется выигрышным. Ответ: 0,2.

7.2.3. В группе пятнадцать девушек и десять юношей. Случайным образом выбирают одного. Найдите вероятность того, что отобран юноша. Ответ: 0,4.

7.2.4. Бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что : а) сумма очков будет больше их произведения; б) сумма очков будет четной; в) сумма очков будет больше восьми. Ответ: 11/36; 1/2; 5/18.

7.2.5. Карточки с буквами «у», «к», «ж» тщательно перемешивают и кладут рядом. Какова вероятность, что получится слово «жук»? Ответ: 1/6.

10.2.6. В урне два белых и три синих шара. Из урны вынимают подряд два шара (без возвращения). Найдите вероятность того, что оба шара белые. Ответ: 0,1.

10.2.7. Из двенадцати студентов трое не прошли профилактический осмотр. Найдите вероятность того, что оба из двух случайным образом выбранных из этой группы студентов не прошли осмотр. Ответ:

7.2.8. В читальном зале шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найдите вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете. Ответ: 0,2.

7.2.9. Из восьми саженцев яблонь и четырех саженцев слив садовник наудачу выбирает четыре саженца для посадки. Определите вероятность того, что: а) не было отобрано ни одного саженца сливы; б) было отобрано три яблони и одна слива. Ответ:

7.2.10. Из урны, в которой четыре белых и шесть черных шаров, наудачу извлекают четыре шара (без возвращения). Найдите вероятность того, что среди них будет одинаковое число белых и черных шаров. Ответ:

7.2.11. Группа спортсменов-туристов, состоящая из десяти юношей и десяти девушек, случайным образом делится на две равные части по числу человек. Найдите вероятность того, что: а) в каждой части юношей и девушек поровну; б) в одной части все юноши, а в другой – все девушки. Ответ:

7.2.12. Завод в среднем дает 27% продукции высшего сорта и 70% - первого сорта. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие не будет высшего или первого сорта.