§ 7. Основы теории вероятностей.

Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений.

К случайным относят явления, которые при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекают каждый раз несколько по-иному.

Часто при решении задач по теории вероятностей требуется определить сколько различных комбинаций, удовлетворяющих каким-либо условиям, можно составить из заданных объектов. Раздел математики, занимающийся изучением этого вопроса, называют комбинаторикой.

7.1. Элементы комбинаторики.

Одно из важнейших правил комбинаторики – правило произведения.

Правило произведения. Если объект A₁ может быть выбран k₁ способами, затем для каждого из таких выборов объекта A₁ другой объект A₂ может быть выбран k₂ способами, затем для каждого из таких выборов и объекта A₁, и объекта A₂ третий объект A₃ может быть выбран k₃ способами и т.д., наконец, объект A_m может быть выбран k_m способами, тогда объект «A₁ и A₂, и A₃, и …, и A_m» может быть выбран способами.

Сочетаниями из n различных элементов по m элементов (m≤n) называют комбинации из m элементов, которые составлены из данных n элементов и отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m обозначают или и вычисляют по формуле: , где n! (читают «эн факториал») – произведение натуральных чисел от 1 до n: , причем 0!=1.

Пример 1. Сколькими способами между тремя сотрудниками можно распределить две различные путевки?

Решение. Претендент на первую путевку – один из трех сотрудников – может быть выбран тремя способами. Если первая путевка досталась первому сотруднику, то вторая может достаться или второму, или третьему сотруднику. Если первая путевка досталась второму сотруднику, то вторая может достаться или первому, или третьему сотруднику. Если первая путевка досталась третьему сотруднику, то вторая может достаться или первому, или второму сотруднику. Таким образом, для каждого способа распределения первой путевки претендент на вторую путевку может быть выбран двумя способами. Две различные путевки (и первая, и вторая) по правилу произведения могут быть распределены шестью способами:

1. первому и второму сотрудникам;

2. первому и третьему сотрудникам;

3. второму и первому сотрудникам;

4. второму и третьему сотрудникам;

5. третьему и первому сотрудникам;

6. третьему и второму сотрудникам.

Ответ: шестью способами.

Пример 2. Сколькими способами между тремя сотрудниками можно распределить две одинаковые путевки?

Решение. Искомое число равно числу способов выбора из трех сотрудников двух претендентов на путевки. Поскольку , то распределить две одинаковые путевки между тремя сотрудниками можно тремя способами.

Ответ: тремя способами.

Упражнения.

7.1.1. Сколькими способами можно составить флаг, содержащий три горизонтальные полосы различных цветов, если имеется материал пяти цветов? Ответ: 60.

7.1.2. Сколькими способами из группы студентов в двадцать пять человек можно выбрать старосту и физорга? Ответ: 600.

7.1.3. Десять спортсменов разыгрывают одну золотую, одну серебряную и одну бронзовую медали. Сколькими способами эти медали могут быть распределены между спортсменами? Ответ: 720.

7.1.4. Студентам нужно сдать четыре экзамена за восемь дней. Сколькими способами можно составить расписание сдачи экзаменов? Ответ: 1680.

7.1.5. Сколько словарей нужно издать, чтобы непосредственно выполнить переводы с любого из трех языков: русского, английского, французского - на любой другой из этих трех языков? Ответ: 6.

7.1.6. Сколькими способами можно рассадить на скамейке трех человек? Ответ: 6.

7.1.7. Сколькими способами пять книг разных авторов можно расставить на полке? Ответ: 120.

7.1.8. В конкурсе по пяти номинациям участвуют десять кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены различные призы? одинаковые призы? Ответ: 30240; 252.

7.1.9. В хоккейном турнире участвуют шесть команд. Каждая команда должна сыграть с каждой одну игру. Сколько игр сыграно в турнире? Ответ: 15.

7.1.10. Сколькими способами читатель может выбрать три книжки из пяти имеющихся различных книг? Ответ: 10.

7.1.11. Сколькими способами можно в строчку написать три плюса и два минуса? Ответ: 10.

7.1.12. В лабораторной клетке содержат пять белых и пять коричневых мышей. Найдите число способов выбора: а) трех мышей, если они могут быть любого цвета; б) трех белых мышей. Ответ: 120; 10.

7.1.13. В ящике двадцать кубиков, среди которых пятнадцать окрашены. Сколькими способами можно взять пять кубиков? пять окрашенных кубиков? Ответ: 15504; 3003.