6.3.Функциональные ряды
Функциональным
рядом
называется ряд
,
где un(x)
– функция. Ряд
называется
сходящимся в точке x0
, если
сходится числовой ряд
.
Совокупность
,
для которых функциональный ряд сходится,
называется областью сходимости.
Ряд
называется
абсолютно
сходящимся
на множестве X,
если на этом множестве сходится ряд
.
Функциональный
ряд называется равномерно сходящимся
на множестве X
если для любого ε >0 найдется такое
N=N(ε),
что для всех n>N
выполняется |
|
< ε для всех
.
Признак Вейерштрасса:
Функциональный
ряд
сходится
на множестве X
равномерно, если | un(x)
| ≤ an
для всех
и числовой ряд
сходится. Ряд
называется мажорантой
ряда
.
Свойства равномерно сходящихся рядов:
Пусть функциональный
ряд
равномерно сходится для
и имеет сумму S(x).
Тогда справедливы теоремы:
Если в точке
непрерывна un(x)
, то в этой точке непрерывна функция
S(x).
Если un(x) непрерывна на
,
то ряд можно почленно интегрировать:
Если un(x) имеют непрерывные производные и функциональный ряд
сходится равномерно, то ряд можно
почленно дифференцировать:
и функция
непрерывна на
.
Степенные ряды
Степенным рядом
называется функциональный ряд,
составленный из степенных функций:
Теорема Абеля: Если степенной ряд сходится при х = х1, то он абсолютно сходится при |х |< |х1|; если ряд расходится при x = x2 , то он расходится при |х |> |х2|.
Число R называется радиусом сходимости, если для |х| < R ряд сходится, а при |х| >R – расходится. Степенные ряды в интервале (-R, R) обладают всеми свойствами равномерносходящихся функциональных рядов.
Радиус сходимости
R
=
Степенные ряды Тейлора и Маклорена
Пусть f(x) – бесконечно дифференцируемая функция в окрестности точки x0 . Разложение функции f(x) в ряд Тейлора:
При x=0
ряд Тейлора называется рядом Маклорена.
Для разложимости f(x)
в ряд Телора достаточно, чтобы
для всех n
, где M
– некоторое число.
Разложение некоторых функций в ряд Маклорена:
Первые три ряда
имеют радиус сходимости
,
а у остальных R=1.
Ряд Фурье.
Непрерывная функция f(x) , имеющая на интервале (-l,l) конечное число экстремумов, разлагается в ряд Фурье:
, где
;
Если f(x) – четная (нечетная) функция, то коэффициенты bn (an) равны нулю.
Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда:
Решение. Общий
член данного ряда
,
коэффициент ряда
,
следовательно,
.
Определим радиус
сходимости:
.
Интервал сходимости (-2;2). Исследуем
сходимость степенного ряда на концах
интервала: при х=-2 имеем знакочередующийся
ряд.
или
этот ряд сходится
по признаку Лейбница, так как
,
и абсолютные величины членов ряда
убывают:
;
при х=2 имеем знакоположительный ряд
,
или
,
который расходится (гармонический ряд).
Таким образом, данный степенной ряд
сходится в промежутке: [-2;2).
Пример 4.
Используя разложение в ряд, вычислить
с точностью до 0,0001.
Решение. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции:
При х=-0,2 получим:
Если отбросить
члены ряда, начиная с пятого, то погрешность
вычисления будет по абсолютной величине
меньше, чем
.
Поэтому, для
вычисления с заданной точностью можно
ограничиться четырьмя членами ряда:
.
Пример 5.
Вычислить приближенно определенный
интеграл:
,
взяв два члена разложения подынтегральной
функции в ряд, и оценить погрешность
вычисления.
Решение. Найдем
разложение функции:
в ряд, используя биномиальный ряд:
;
при m=-1/2 и, заменяя х на х3, получим:
.
Взяв только два
члена разложения, получим:
.
Погрешность
полученного приближенного значения
интеграла не превосходит по абсолютной
величине третьего отброшенного члена
ряда:
.
Упражнения.
6.1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
;
g)
;
h)
.
6.2. Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
;
g)
;
h)
.
6.3. Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
.
6.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
;
g)
;
h)
.
6.5. Найти область сходимости степенного ряда:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
;
q)
.
6.6. Приложение рядов к приближенным вычислениям.
a) Вычислить ln1,3 с точностью до 0,0001, пользуясь разложением функции в ряд Маклорена y = ln (1+x).
b)
Вычислить приближенно
с
точностью до 0,0001, пользуясь разложением
функции y
= (1+x)m
в ряд Маклорена.
c)
С точностью до 0,0001 вычислить приближенно
используя разложение подынтегральной
функции в ряд Маклорена.