§ 6. Ряды.

6.1 Числовые ряды

Выражение называется числовым рядом;

u_{к –} общим числом ряда;

- n-ной частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, а S – суммой ряда, если . Если не существует или не ограничен, то ряд называется расходящимся.

Свойства сходящихся рядов:

1. Необходимый признак сходимости ряда: если ряд сходится, то (если , то ряд расходится).

2. Члены сходящегося ряда можно группировать в порядке следования, полученный новый ряд сходится и имеет ту же сумму.

3. Если сходятся ряды и , то сходится ряд

.

Признаки сходимости рядов с положительными членами:

1. Признак сравнения.

Если для всех >N, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда - расходимость ряда .

Для эффективного применения признака сравнения необходимо иметь «запас» рядов, сходимость или расходимость которых твердо установлена. Некоторые из таких рядов приведены в таблице:

Сходящиеся ряды	Расходящиеся ряды
геометрический ряд со знаменателем 0<q<1	геометрический ряд со знаменателем q 1
α >1	(0< , α=1 – гармонический ряд)
	при а>0

2. Признак сравнения в предельной форме.

Если для знакоположительных рядов и существует конечный предел , то из сходимости второго ряда вытекает сходимость первого ряда. Если (но возможно ), то из расходимости второго ряда следует расходимость первого.

3. Признак Даламбера.

Если , то при <1 ряд сходится, а при >1 – расходится.

4. Радикальный признак Коши.

Если , где k – число, то при k < 1 ряд сходится, а при k > 1 – расходится.

5. Интегральный признак Маклорена – Коши:

Ряд с общим членом u_n = f(n) сходится, если f(x) – монотонноубывающая функция, определена для всех и сходится несобственный интеграл .

Если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Проверим выполнение необходимого признака сходимости, для чего найдем предел его общего члена:

.

Следовательно, необходимое условие сходимости выполнено. Дальнейшее исследование ряда на сходимость проведем с помощью признака Даламбера.

Вычисли , найдем:

, следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

6.2. Знакочередующиеся ряды

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно то положительны, то отрицательны. Сходимость знакочередующихся рядов устанавливается с помощью признака Лейбница:

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывают, т.е. u₁>u₂>….>u_n>… и предел его общего члена при равен нулю, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена ряда.

Сходящиеся по признаку Лейбница знакочередующиеся ряды дополнительно исследуют на абсолютную и условную сходимость.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если он сходится по признаку Лейбница, и сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Ряд называется условно сходящимся, если ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются.

Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы, их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда.

Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда: .

Решение. Сходимость этого знакочередующегося ряда установим с помощью признака Лейбница, для чего проверим выполнение двух условий:

1. предел общего члена ,

2. абсолютные величины членов ряда убывают, так как

Следовательно, ряд сходится.

Исследуем его на абсолютную сходимость. Для этого составим ряд из абсолютных величин данного ряда: , так как , т.е. члены данного ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, то по признаку сравнения ряд расходится. Поэтому, ряд - условно сходящийся.