§ 5. Дифференциальные уравнения.

5.1 Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F(x,y,y^’) или y^’=f(x,y) (разрешенное относительно y).

Решением дифференциального уравнения называется функция у(x) , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Общее решение дифференциального уравнения можно записать в явном виде или в виде общего интеграла Ф(x,y,C)=0, где С – произвольная постоянная.

Теорема. Если функция f(x,y) непрерывна в некоторой области, содержащей точку (x₀,y₀) и имеет там ограниченную частную производную по y , то существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию Коши: y=y₀ при x=x₀.

Уравнения, допускающие аналитическое решение:

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

путем деления на допускают интегрирование

.

2. Однородное дифференциальное уравнение с помощью подстановки y=xz приводится к уравнению с разделяющимися переменными .

3. Линейное дифференциальное уравнение . Решение ищем в виде , где v удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению

Для u получим уравнение .

Интегрируя последовательно уравнения для u и v получим решение

, где

4. Уравнение Бернулли . Замена приводит к линейному дифференциальному уравнению

5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

, где

Общий интеграл: , где функция u определяется из системы

Интегрируя первое уравнение, имеем . Подстановка этого выражения во второе уравнение позволяет найти функцию , а затем u.

Пример1. Решить уравнение

Решение. Так как , , то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем такую функцию u(x,y), что ;

Первое из этих уравнений проинтегрируем по х , считая y постоянным; при этом вместо постоянной интегрирования поставим - неизвестную функцию от y:

Подставляя это выражение во второе уравнение, найдем

,

; .

Следовательно, можно взять и общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

5.2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Общее решение дифференциального уравнения n – го порядка

,

имеет вид , где - произвольные постоянные.

Простейшие дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка:

1. Уравнение решается последовательным n – кратным интегрированием правой части,

2. Уравнение , не содержащее явно y, с помощью подстановки приводится к дифференциальному уравнению 1-го порядка ,

3. Уравнение , не содержащее явно x. Подстановка (y играет роль независимой переменной) с учетом равенств приводит уравнение к уравнению 1-го порядка

.

Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка ( )

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения:

,

где - линейно-независимые частные решения (фундаментальная система решений) этого уравнения; - произвольные постоянные.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка ( )

.

Общее решение

,

где u(x)- частное решение неоднородного уравнения, а - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения.

Если , то частное решение , где и - частные решения, соответствующие отдельным слагаемым и в правой части дифференциального уравнения.

1. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами (a₀, a₁, a₂,…, a_n – числа) имеет вид:

Корни характеристического уравнения

определяют следующие слагаемые в общем решении:

а) действительный простой корень дает слагаемое ;

б) действительный корень кратности m дает слагаемое

.

в) пара комплексно-сопряженных корней дает слагаемое

г) пара комплексно-сопряженных корней кратности m дает слагаемое .

Например, если все корни характеристического уравнения действительны и различны, то дифференциальное уравнение имеет общее решение

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Если , где и - многочлены n-ой и m-ой степени, то частное решение ищут методом неопределенных коэффициентов в виде

;

Здесь r – кратность корня в характеристическом уравнении (если такого корня нет, то r = 0);

и - степени . Неопределенные коэффициенты находятся из системы линейных алгебраических уравнений, путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях x в обеих частях исходного уравнения после подстановки в него u(x) вместо y. Если в выражение для f(x) входит хотя бы одна из функций или , то в u(x) надо всегда вводить обе функции.

Пример2. Решить уравнение

Решение. Составляем характеристическое уравнение ; .

- двукратный корень, - кратности 1.

Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:

Правая часть исходного уравнения состоит из двух слагаемых. Для первого уравнения

(*)

частное решение будет иметь вид , так как имеем кратный корень. Подставив y₁ в уравнение (*), найдем .

Для второго уравнения (**) частное решение будем искать в виде

.

Подставив y₂ в уравнение (**), найдем

Тогда общее решение исходного уравнения y = y₀ + y₁ + y₂ , где y₀, y₁, y₂ уже найдены.

Упражнения.

5.1. Найти и построить интегральную кривую, проходящую через точку М:

a) , М (1;0);

b) , М (-2;-3);

c) , М (0;1);

d) , М (4;2);

e) , М (2;-1);

f) , М (2;1);

g) , М (1;2);

h) , М (0;1).

5.2. Найти общее решение дифференциального уравнения:

a) ; b ;

c) ; d) ;

e) ;

f) ; g ) ;

h) .

5.3. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

a) , ;

b) , ;

c) , ;

d) , ;

e) , ;

f) , ;

g) , ;

h) , .

5.4. Найти общий интеграл однородного уравнения:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) .

5.5. Решить линейные однородные уравнения второго порядка:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) .

5.6. Решить линейные неоднородные уравнения:

a) ; b) ;

c) ; d) .