§4. Интегральное исчисление
4.1 Неопределенный интеграл
Первообразной функцией для функции f (x) называется такая функция F (x), производная которой равна данной функции, т.е. F' (x) = f (x).
Неопределенным интегралом от непрерывной функции f (x) или от дифференциального выражения f (x) dx называется совокупность первообразных функций f (x).
Обозначение:
,
где F'
(x)
= f
(x).
Функция f
(x)
называется подынтегральной
функцией, а
выражение f
(x)
dx
– подынтегральным
выражением.
Свойства неопределенного интеграла:
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.
;
d
;
Неопределенный интеграл от дифференциала функции f (x) равен функции f (x) с точностью до постоянного слагаемого
.
Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределенного интеграла
.
Неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций
Таблица простейших неопределенных интегралов
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Методы интегрирования.
Интегрирование разложением.
Если
,
то
.
Пример 1.
Найти интеграл
.
Решение.
=
.
Метод подстановки.
Интегрирование
путем введения новой переменной (метод
подстановки) основано на формуле
,
где
-
дифференцируемая функция переменной
t.
Пример 2.
Найти интеграл
.
Решение.
Положим
,
тогда
,
откуда
.
Подставляя полученные равенства в подынтегральное выражение, находим
Метод интегрирования по частям.
Если
-
дифференцируемые функции от х,
то из формулы для дифференциала
произведения двух функций
получается
формула интегрирования по частям
.
Пример 3.
Найти
.
Решение. Обозначим:
,
отсюда dx
= du,
v
= - cosx.
Подставляя значения
u,v,du,dv
в формулу интегрирования по частям,
получим
.
Упражнения.
4.1. Найти неопределенные интегралы:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
;
g)
;
h)
;
i)
;
j)
;
k)
;
l)
.
4.2. Найти неопределенные интегралы методом замены переменной:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
;
g)
;
h)
;
i)
;
j)
;
k)
;
l)
;
m)
4.3. Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
;
g)
;
h)
;
h)
;
I)
.
4.4. Интегрирование рациональных дробей:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
;
q)
.
7.5. Интегрирование иррациональных выражений:
а)
;
b)
;
с)
;
d)
.
4.2 Определенный интеграл и его приложения
Определенным
интегралом от функции у
= f
(x)
на отрезке
называется предел его интегральной
суммы, когда число элементарных отрезков
неограниченно возрастает, а длина
наибольшего из них стремится к нулю:
.
Определенным интегралом от непрерывной функции на отрезке называется приращение любой его первообразной функции на этом отрезке:
Формула Ньютона
– Лейбница:
,
где
.
Методы вычисления определенного интеграла аналогичны вычислению неопределенного интеграла.
Замена переменной в определенном интеграле осуществляется по формуле
,
где
;
t
– новая переменная,
,
-
новые пределы интегрирования.
Интегрирование по частям в определенном интеграле:
.
Пример 4.
Вычислить определенный интеграл
.
Решение.
.
Пример 5.
Вычислить
.
Решение.
Положим
,
тогда x
= t2
и dx
= 2tdt.
Подставляя старые пределы интегрирования
в формулу
,
получаем
=
0,
=
2.
Следовательно
Пример 6.
Вычислить
.
Решение.
Применяем формулу интегрирования по
частям. Полагая u
= ln
x,
dv
= dx,
определяем
.
Следовательно,
