3.1 Метод наименьших квадратов
Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению.
Имеется ряд наблюдений переменных x и y:
xi |
x1 |
x2 |
… |
xn |
yi |
y1 |
y2 |
… |
yn |
По
этим данным можно построить ломаную,
вид которой указывает вид эмпирической
формулы. Если анализ опытных данных
привел к выводу, что между переменными
x
и y
существует линейная зависимость,
,
то параметры
и
этой
прямой определяются из системы уравнений:
Упражнения.
3.1.1.Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:
-
x
0,6
1,0
1,4
1,8
2,2
y
7,8
10,5
12,7
14,3
15,5
В результате их выравнивания по параболе получено уравнение y = - 1,5x2 + 9x + 3. Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.
3.1.2. Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:
-
x
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
y
1,95
1,9
1,8
1,7
1,65
В результате их выравнивания по гиперболе получено уравнение
y = (x + 1)/(x – 1). Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.
3.1.3. Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:
-
x
1
2
3
4
5
y
1,6
2,0
2,3
2,4
2,7
В
результате их выравнивания по параболе
получено уравнение
.
Пользуясь МНК аппроксимировать эти
данные линейной зависимостью y
= ax
+ b.
Установить, какая из двух линий лучше
выравнивает экспериментальные данные.
Сделать чертёж.
3.1.4. Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:
-
x
4
5
6
8
9
y
20
24
29
35
50
В
результате их выравнивания получено
уравнение y
=
.
Пользуясь МНК аппроксимировать эти
данные линейной зависимостью y
= ax
+ b.
Установить, какая из двух линий лучше
выравнивает экспериментальные данные.
Сделать чертёж.
3.1.5. Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:
-
x
-2
0
1
2
4
y
0,3
1,0
1,5
2,0
3,0
В результате их выравнивания по экспоненте получено уравнение y = еx/5. Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.