Упражнения.

Найти предел функции.

1.1. при а)х₀ = -2; б)х₀ = 1; в) х₀ = 

1.2. при а)х₀ = 2; б)х₀ = 5 в)х₀ = 

1.3. .

0. 1.4. . 1.5. .

1.6. . 1.7. .

1.8. . 1.9. .

1.10. . 1.11. .

1.12. . 1.13. .

1.14. . 1.15. .

1.16. . 1.17. .

1.18. . 1.19. .

1.20. . 1.21.

§ 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Производной функции у = f (x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Если u, v, w - дифференцируемые функции от х, а с – постоянная величина, то имеют место следующие основные правила дифференцирования:

; ; ;

; ; .

Таблица производных:

Производные степенных и тригонометрических функций.

; ; ; ;

; ; ; .

Производные обратных тригонометрических функций

; ; ; .

Производные показательных и логарифмических функций

; ; ; .

Производная сложной функции

Если и - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной данной функции y по промежуточному аргументу z на производную промежуточного аргумента z по независимой переменной x:

.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. .

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. .

Пример 3. Найти производную функции .

Решение.

Понятие производной находит многочисленные приложения. С помощью производной можно найти касательную к кривой в данной точке, определить скорость и ускорение неравномерного движения в данный момент времени. Производная широко применяется при исследовании функций.

Исследование функции можно проводить по следующей схеме:

1. Найти область существования функции.

2. Исследовать функцию на четность нечетность, определить симметрию графика.

3. Исследовать поведение функции в граничных точках области определения.

4. Найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума.

5. Вычислить значения экстремума.

6. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика, найти точки перегиба.

7. Найти точки пересечения графика функции с координатными осями.

8. Найти асимптоты графика функции.

Если исследуемая функция четная или нечетная, достаточно исследовать функцию и построить её график для положительных значений аргумента из области определения.

Иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из конкретных особенностей данной функции.

Дифференциалом функции y=f(x) называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной dy=f(x)dx. Дифференциал функции является главной частью ее приращения, линейной относительно приращения независимой переменной: dy=y+ , dy  y. Эта формула используется в приближенных вычислениях с помощью дифференциала: f(x₀+x)  f(x₀)+f(x₀)x.

Пример 4. Построить график функции .

Решение. Функция определена и непрерывна при всех х. Первая производная

существует всюду, за исключением точек х₁=0, х₂=6.

Исследуем предельные значения производной при х, стремящемся к нулю слева и справа:

; ,

при х < 0 у' <0, при х > 0 у' > 0, следовательно функция имеет минимум в точке х = 0, причем у_min = 0.

Рассмотрим критическую точку х₂ = 6. При х → 6 – 0 у' → – ∞, при х → 6 + 0 также

у' → – ∞, т.е. производная отрицательна слева и справа от точки х₂ = 6, поэтому в данной точке экстремума нет. В этой точке функция убывает, касательная к кривой в точке х₂ = 6 вертикальна.

При х = 4 производная обращается в нуль. Так как при х < 4 у' > 0, при х > 4 у' < 0, то х = 4 – точка максимума, причём у_max = .

Таким образом, в промежутке (– ∞, 0 ) функция убывает, в промежутке (0, 4) – возрастает, в промежутке (4, +∞) – убывает.

Определяем точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Вторая производная в нуль не обращается ни в одной точке,

в точках х = 0 и х = 6 она не определена.

Исследуем знак второй производной вблизи этих точек. Так как у''< 0 при х < 0 и при х >0, то кривая выпукла вверх слева и справа от точки с абсциссой х = 0 и, следовательно, точка О (0,0) не является точкой перегиба; с другой стороны, О – точка минимума (такая точка называется точкой возврата).

При х < 6 у'' <0, при х > 6 у'' > 0, поэтому точка (6, 0) является точкой перегиба.

Определим асимптоты кривой:

;

.

Следовательно, прямая у = – х +2 является асимптотой кривой .

Упражнения.

2.5.1. Найти производные функций

a) y = 2x + 8, y = 3x² + x + 7, y = + x² - 5,

y = x⁴+ , y = 2x⁴ + x² + + 9, y = 3 - 7x + 8x³.

b) y = (x-3)(x+5), y = x³(x - ), y = 3x(x² - ),

y = (x³ – 2x +1)(1-5x-8x²), y = (t³ – 3 )(1- ).

c) y = , y = , y = ,

y = , y = ,

y =

d) y = (21-15x²+x³)², y = (x³-7)⁴, y = ,

y = .

e) y = (x +4)e^x, , , , .

f) , , , .

g) , , , .

h) , , , , , , , , , , .

i) , , , , , .

j) , , , .

k) y = , , , .

l) , , , .

m) ; ; ; .

n) ; ; ; .

о) .

2.2. Вычислить приближенно значение , заменив в точке х=х₀ приращение функции дифференциалом:

а = 502; х₀ = 512

а = 267; х₀ = 256

а = 234; х₀ = 243.

2.3. С помощью дифференциала вычислить приближенное значение:

a) ln1,2; b)сos 29⁰; c) ; d) sin 31⁰; e) (1,12)³; f) ;

g) ; h) ; I) .

2.4. Найти точки экстремума функций:

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .

2.5. Найти точки перегиба функций

2.6. Найти асимптоты кривых

а) b)

c) d)

e)

2.7. Исследовать функции и построить график:

a) ; b) ;

c) ; d)

e) ; f) ;

g) ; h) ;

I) ;

j) ; k) ;

l) ; m) ;

n) ; o) ;

p) ; q) .

2.8 Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

a) y = 3x² – 6 на [0; 3]

2. y = на (1; е]

3. y = на [0; 4]

4. y = на [-2; 2]

5. y = на [1; 3]

6. y = на [0; ]

7. y = на [1; e]

h) y = на [-2; 2]