2. Принцип Гюйгенса – Френеля

Існують оптичні явища, які свідчать про те, що закони геометричної оптики є наближеними і в ряді випадків вимагають уточнення. До таких явищ належить відхилення світлових променів від прямолінійного розповсюдження на границі світла і тіні, тобто при наявності перешкод на шляху розповсюдження світла. Внаслідок цього неможливо отримати чітку тінь від непрозорих предметів, а також накладаються певні обмеження на можливості оптичних приладів (мікроскоп, телескоп тощо).

Дифракція – це явище відхилення хвиль від прямолінійного розповсюдження при їх взаємодії з перешкодами.

Дифракція світла зумовлена його хвильовою природою і пояснюється за допомогою принципу Гюйгенса-Френеля. Згідно з цим принципом,

кожна точка простору, до якої дійшла хвиля, в свою чергу стає джерелом вторинних хвиль, когерентних з первинною.

Сутність даного принципу можна зрозуміти досить просто, якщо згадати, що хвилі – це коливання, які розповсюджуються у просторі внаслідок взаємодії між сусідніми точками простору. Якщо до якоїсь точки дійшла хвиля і вона починає коливатися з певною частотою, то всі сусідні з нею точки починають також коливатися (з певним запізненням відносно цієї точки) внаслідок того, що перша точка “тягне” їх за собою, і вони коливаються з тією самою частотою, але з певним зсувом по фазі. Вони, в свою чергу, передають коливання своїм сусідам, і хвиля йде далі з певною швидкістю. Параметри коливання кожної точки визначаються впливом на неї усіх сусідніх з нею точок.

Я кщо відоме положення фронту хвилі у певний момент часу t, то для побудови фронту хвилі в наступний момент часу t+t необхідно побудувати обвідну всіх вторинних хвиль, створених вторинними джерелами на попередньому фронті хвилі (рис. 4.19).

Будь-яка перешкода на шляху хвилі приводить до того, що “вибувають із гри” вторинні джерела хвилі, які були б на цьому місці, якби перешкоди не було. Тому після перешкоди параметри результуючої хвилі визначаються взаємонакладенням хвиль від тих вторинних джерел, які залишились діючими.

Якщо, наприклад, на шляху хвилі встановити непрозорий екран із отвором (Рис. 4.20), то хвилю за отвором можна розглядати як результат взаємонакладення хвиль, створених вторинними джерелами в площині отвору. Якщо до перешкоди хвильові поверхні (пунктир) мали форму площин (плоска хвиля), то після отвору вони набирають іншої форми. Оскільки кожне вторинне джерело є точковим і створює навколо себе сферичну хвилю, то хвильова поверхня, яка є обвідною всіх вторинних сферичних хвиль, поблизу країв отвору має викривлення, яке свідчить про зміну напрямку розповсюдження хвилі (стрілки). Це приводить до розповсюдження коливань також і в область геометричної “тіні”.

3. Метод зон Френеля

Встановлення перешкоди на шляху хвилі приводить до зміни амплітуди коливань за перешкодою. Для розрахунку цих амплітуд застосовується принцип Гюйгенса-Френеля, тобто в кожній точці простору розраховується амплітуда коливання, створеного в результаті взаємонакладення хвиль від вторинних джерел, які залишились діючими після встановлення перешкоди. Оскільки таких джерел (як і точок на будь-якій ділянці поверхні) є безліч, то для точного розрахунку взаємонакладення вторинних хвиль необхідно виконувати досить складне інтегрування.

Проте при наближених обчисленнях ця операція може бути спрощена, якщо скористатись методом зон Френеля, який полягає в тому, що

будь-яку хвильову поверхню первинної хвилі можна умовно розбити на окремі зони відносно точки спостереження таким чином, що вторинні джерела в межах кожної зони створюють у точці спостереження коливання, різниця фаз яких не перевищує  .

Ці коливання в першому наближенні можна вважати синфазними. Амплітуда ж хвилі створеної певною зоною, є пропорційною площі цієї зони і залежить від її орієнтації і відстані відносно точки спостереження.

Розглянемо застосування цього методу до сферичної хвилі, джерелом якої є точка S (Рис. 4.21). Знайдемо амплітуду цієї хвилі в деякій точці М. Згідно з принципом Гюйгенса – Френеля, ми можемо замінити дію джерела S на точку М дією вторинних джерел, розміщених на будь-якій хвильовій поверхні Ф первинного джерела (сферична поверхня з центром у точці S ).

Розіб’ємо поверхню Ф на кільцеві зони з такими розмірами, щоб відстані від їх країв до т. М відрізнялись на /2 ( – довжина хвилі). За цієї умови коливання від сусідніх зон будуть приходити в т. М із протилежними фазами. Якщо позначити через А_n амплітуду коливання, створеного в т. М n-ю зоною, то амплітуда результуючого коливання буде алгебраїчною сумою цих амплітуд:

A = A₁ – A₂ + A₃ – A₄ + A₅ – . . . (4.47)

Кожна амплітуда А_n залежить від трьох величин:1) площі n-ї зони, 2) відстані від зони до т. М, 3) кута між нормаллю до поверхні зони і напрямком на т. М. Розрахунки показують, що площі зон Френеля приблизно однакові. Що ж стосується відстані і кута, то, як це добре видно з рис. 4.21, вони повільно збільшуються зі зростанням номера зони. Це приводить до того, що, хоча сусідні амплітуди майже однакові за абсолютною величиною, вони все ж таки повільно зменшуються зі збільшенням n:

A₁ > A₂ > A₃ > A₄ > A₅ > . . .

Оскільки зменшення амплітуди відбувається дуже повільно, то для сусідніх зон можна вважати, що воно відбувається за лінійним законом, тобто кожна амплітуда є середнім арифметичним від сусідніх амплітуд:

. (4.48)

Запишемо співвідношення (4.47) у такому вигляді:

(4.49)

Але ж, згідно з (4.48), вирази в дужках  0. Тому

, (4.50)

тобто повна амплітуда коливання, створеного хвилею в т. М, дорівнює половині амплітуди коливання, створеного однією лише центральною зоною. Отже, якщо встановити на шляху хвилі непрозорий екран з отвором, розмір якого дорівнює першій зоні Френеля, то, незважаючи на перешкоду, інтенсивність хвилі (квадрат амплітуди) у т. М не зменшиться, а навпаки, зросте у 4 рази.

Цей парадоксальний результат пояснюється тим, що вторинні хвилі від сусідніх зон взаємно ослаблюють одна одну. Тому, якщо штучно ізолювати, наприклад, всі парні зони, залишивши відкритими непарні, можна отримати багаторазове підсилення інтенсивності світла в т. М. Це досягається на практиці за допомогою так званих зонних пластинок, які створюються у вигляді системи концентричних непрозорих кілець на прозорій основі, розміри яких відповідають розмірам парних зон Френеля.

Розглянутий тип дифракції називається дифракцією Френеля. Для нього характерним є те, що джерело хвиль і точка спостереження знаходяться на скінченних відстанях від перешкоди, яка викликала дифракцію.

4. Дифракція Фраунгофера на щілині

   На відміну від дифракції Френеля, при дифракції Фраунгофера джерело світла і точка спостереження знаходяться на нескінченних відстанях від перешкоди, що викликала дифракцію. Це означає, що хвильові поверхні є плоскими, а окремі промені світла є взаємно паралельними всередині світлового пучка. На практиці цей випадок можна реалізувати за допомогою лінз. Якщо помістити джерело світла у фокус лінзи, отримаємо після лінзи паралельний світловий пучок. А перенести точку спостереження з нескінченності в певну точку простору можна, якщо сфокусувати в цю точку паралельний пучок світла за допомогою іншої лінзи.

Розглянемо дифракцію Фраунгофера на нескінченно довгій щілині. Нехай плоска монохроматична хвиля падає перпендикулярно на непрозорий екран зі щілиною шириною а (Рис. 4.22). За екраном розглянемо хвилю, що розповсюджується в довільному напрямку під кутом  відносно нормалі до екрану. Ця хвиля генерується вторинними джерелами у площині щілини, і її амплітуда залежить від числа зон Френеля у щілині.

Границі зон Френеля визначаються за тим же принципом: оптична різниця ходу світла від країв однієї зони дорівнює /2.

Ширина однієї зони:

. (4.51)

Таким чином, всього на ширині щілини поміщується кількість зон Френеля:

N = . (4.52)

Різниця ходу від сусідніх зон дорівнює /2 , тобто вони створюють коливання, які є протифазними. Оскільки ширина всіх зон однакова, то амплітуди коливань, створених кожною зоною, також однакові. Тому при складанні коливань двох сусідніх зон вони взаємно компенсуються, даючи в результаті нуль. Таким чином, при розрахунку амплітуди коливань в даному напрямку (під кутом ) можна виключити з розрахунку всі пари сусідніх зон Френеля, оскільки вони не будуть давати внесок в кінцевий результат. Амплітуда результуючого коливання буде визначатись не більше, ніж однією некомпенсованою зоною, або частиною зони.

Якщо на ширині щілини вкладається точно парне число зон Френеля (N = 2m), то вони взаємно компенсують одна одну, і в даному напрямку спостерігається дифракційний мінімум (амплітуда коливань дорівнює нулю). Порівнюючи з (4.52), маємо умову мінімуму:

, (4.53)

де т = 1,2,3,… – ціле число.

Дифракційний максимум утворюється при умові, що некомпенсованою залишається ціла зона Френеля, а не її частина, тобто на ширині щілини точно вкладається непарне число зон Френеля (N = 2m + 1):

. (4.54)

Отже, в залежності від кута  маємо чергування світлих і темних смуг. При цьому в прямому напрямку ( = 0) щілина діє як одна зона Френеля, і в цьому напрямку спостерігається найбільш інтенсивний центральний дифракційний максимум. В цілому, розподіл інтенсивності світла в залежності від кута  зображено в нижній частині рис. 4.22.