1. Задачи оптимизации и методы их решения

   1. Общие сведения

Методы оптимизации относятся к разделу прикладной математики – математическое программирование. Математическое программирование - раздел прикладной математики, изучающий способы оптимизации – совершенствование и повышение эффективности организации, планирования и управления в различных системах на основе вычислительных методов. Таким образом, в основе математического программирования лежит математический аппарат решения задач оптимизации.

Можно указать некоторые приложения математического программирования в исследовании операций:

• оптимизация технико-экономических систем

• транспортные задачи

• задачи управления

• автоматика (распознавание систем, фильтрация, управление технологическими процессами, роботы)

• техника (управление размерами, оптимизация информационных систем, компьютерных сетей)

• математическая экономика (решение макроэкономических задач, оптимизация моделей предпринимательства)

• теория принятия решений и игр

Постановка любой задачи оптимизации начинается с определения набора независимых переменных, определении области допустимых значений для этих переменных (ограниченные задачи). Обычно оптимизируется скалярная мера качества, которая зависит от переменных (целевая функция). Решение оптимизационной задачи – это приемлемый набор значений переменных, которому отвечает оптимальное решение целевой функции. Под оптимальным решением понимают максимальность или минимальность целевой функции.

1. Общая постановка задач оптимизации

Найти ,

где – векторный аргумент, по которому ведется оптимизация,– область допустимых значений,– целевая функция.

Введем обозначения:

,

где - оптимальное значение целевой функции,- значение аргумента, при котором определяется.

Постановка задачи минимизации или максимизации не нарушает общности:

– определяется функциями ограничения:

,

где - ограничения неравенства, а- ограничения равенства.

2. Классификация разделов математического программирования

По виду решаемой задачи можно выделить следующие разделы математического программирования:

1. Линейное программирование (ЛП) – раздел математического программирования, изучающий задачу поиска минимальной (максимальной) линейной функции при линейных ограничениях в виде равенств или неравенств.

2. Нелинейное программирование – раздел математического программирования, изучающий методы решения и характер экстремума в задачах оптимизации с нелинейной целевой функцией и (или) нелинейными ограничениями.

3. Стохастическое программирование - раздел математического программирования, изучающий модели выбора оптимальных решений в ситуациях, характеризуемых случайными величинами.

Существуют также методы, которые при решении задач оптимизации учитывают специфику этих задач. Такие методы превосходят по эффективности общие алгоритмы и их выделяют в отдельный класс методов для решения задач специальной структуры.

3. Разделы математического программирования

Можно выделить следующие разделы:

1. Целочисленное программирование - решает задачи оптимизации, в которых на значения переменных наложено требование целочисленности.

2. Квадратичное программирование - решает задачи оптимизации с квадратичной целевой функцией и линейными ограничениями.

3. Геометрическое программирование – решает задачи оптимизации, в которых целевая функция и ограничения представляют собой обобщенные многочлены с положительными коэффициентами.

4. Сепарабельное программирование - решает задачи оптимизации с сепарабельной целевой функцией и сепарабельными ограничениями.

5. Дробно-линейное программирование - решает задачи оптимизации с дробно-линейной целевой функцией и линейными ограничениями.