Добавил:

Valeriya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Липецкий государственный технический университет

Предмет:

Методы оптимизации

Файл:

Лекции / 3_Решение систем уравнений

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

352.26 Кб

Скачать

☆

Системы нелинейных уравнений
1. Методы касательных и секущих для решения нелинейных уравнений

Рассмотрим одномерный случай для простого нелинейного уравнения f(x)=0. Опишем классическую поисковую схему с помощью метода касательных (метод Ньютона) и секущих (метод хорд).

Метод Ньютона для решения нелинейного уравнения

Рис. 3. Схема решения уравнения методом Ньютона

Метод Ньютона базируется на выражении:

Скорость сходимости метода Ньютона:

Рассмотрим аффинную модель

где некоторая точка, лежащая между и .

Пусть , тогда

Разделим это равенство на и преобразуем к виду:

Т.к. , то получаем

, где

Одномерный метод Ньютона имеет квадратичную сходимость в окрестности простого (однократного) корня. Если корень кратный, то метод Ньютона сходится гораздо медленнее.

Для обеспечения сходимости метода весьма важен удачный выбор начального приближения.

Метод секущих для решения нелинейного уравнения

Если вычисление производной невозможно, то вместо касательной в текущей точке можно использовать секущую, проходящую через и :

Рис. 4. Схема решения уравнения методом секущих

П ри малом расстоянии между точками x⁽^k^-1) и x⁽^k⁾, a⁽^k⁾ есть конечно-разностная аппроксимация . Тогда получается следующая итерационная формула:

Метод секущих сходится сверхлинейно с

Методы решения систем нелинейных уравнений
1. Постановка задачи

Пусть имеется система нелинейных уравнений , . Требуется найти такое , при котором .

Для этого строится итерационный процесс, сходящийся от начального значения к - решению системы нелинейных уравнений.

Аффинная модель системы нелинейных уравнений

Рассмотрим в текущей точке x⁽^k⁾ линейную (аффинную) модель для F(x) следующего вида:

где А⁽^k⁾R⁽^nxn⁾ - некоторая матрица.

Использую аффинную модель заменяем задачу решения системы уравнений F(x)=0 на задачу решения системы уравнений вида:

Применение аффинной модели для решения системы нелинейных уравнений

Задача решения системы нелинейных уравнений сводится к последовательному решению нескольких задач решения систем линейных уравнений.

Положим, что , тогда .

Следовательно, искомое направление S⁽^k⁾ ищется из уравнения:

Решение системы линейных уравнений может быть проанализировано обычными методами линейной алгебры (например, с использованием псевдообращений).

Исследование и решение упрощается в случае, если А^(к) – квадратная невырожденная матрица (det А^(к)0), тогда:

В этом случае система совместна и определенна (имеет единственное решение).

Итерационная формула для решения системы нелинейных уравнений имеет следующий вид:

Конкретный выбор матрицы А⁽^k⁾ возможен в вариантах методов Ньютона и секущих (по аналогии с одномерным случаем).

Метод Ньютона

Пусть известна матрица Якоби:

Тогда в точке х^(к) , следовательно аффинная модель выглядит следующим образом:

Тогда направление поиска на -ой итерации вычисляется из уравнения:

S⁽^k⁾ – называется ньютоновским направлением.

При условии, что в окрестности корня вектор-функция дважды непрерывно дифференцируема по всем аргументам и матрица не вырождена, многомерный метод Ньютона сходится квадратично.