4. Достаточные условия экстремума второго порядка

Пусть имеется решение при. Если в этой точке() для всех ненулевых, таких что

, ,();

, ,,

то точка является точкой локального минимума (максимума).

5. Алгоритм решения задачи условной оптимизации функции многих переменных при ограничениях неравенствах с использованием необходимых и достаточных условий

Шаг 1. Составить обобщенную функцию Лагранжа:

Шаг 2. Записать необходимые условие минимума (максимума) первого порядка.

Шаг 3. Решить систему для двух случаев и. В результате найти условно-стационарные точки, выделив из них полученные при. В каждом из двух случаев начинать с рассмотрениявариантов условия дополняющей нежесткости.

Шаг 4. Для выделенных на шаге 3 точек проверить достаточные условия экстремума первого или второго порядка. Если достаточные условия первого и второго порядка не выполняются, то следует проверить выполнение необходимых условий второго порядка. Если они выполняются, то требуется дополнительное исследование, а если не выполняются, то в точке нет условного экстремума.

Шаг 5. Вычислить значение функции в точках условного экстремума.

6. Пример решения задачи условной оптимизации функции многих переменных при ограничениях неравенствах с использованием необходимых и достаточных условий

1. Обобщенная функция Лагранжа:

2. Необходимые условия первого порядка:

А) ,

Б)

В) (для минимума),(для максимума)

Г)

3. , тогда из условия а) следует, что . Это противоречит утверждению о существовании ненулевого вектора.

Из условия г) дополняющей нежесткости следует:

1.. Тогда. При этом условие б) выполняется, а также выполняются необходимые условия и для минимума, и для максимума

2. , Тогда получаем систему. Ее решение. Необходимое условие минимума не выполняется, но выполняется необходимое условие максимума.

Таким образом, имеется две условно-стационарные точки: и.

4. Проверим выполнение достаточных условий экстремума.

В точке ограничениене является активным, поэтому достаточные условия первого порядка не выполняются. Условия второго порядка:, при. Поэтому в точкерегулярный локальный условный минимум, совпадающий в данной задаче с безусловным. Т.К. функциявыпуклая и множествовыпуклое, то в точкедостигается глобальный условный минимум.

В точке ограничение является активным, но, поэтому достаточное условие первого порядка не выполняется. Достаточное условие второго порядка:

,

Следовательно , при, т.к., то достаточное условие максимума не выполняется. Проверим необходимо условие максимума второго порядка: т.к.при любых, то необходимое условие максимума не выполнятся, поэтому в точкемаксимума нет.

5. Значение функции в точке условного минимума .

4. Численные методы поиска условного экстремума

   1. Классификация численных методов поиска условного экстремума

Применение необходимых и достаточных условий условного экстремума эффективно для решения ограниченного числа задач. Для большинства практических задач используются численные методы, которые делятся на две группы:

1. Методы, использующие преобразование задачи условной оптимизации в последовательность задач безусловной оптимизации путем введения в рассмотрение вспомогательных функций: методы последовательной безусловной оптимизации.

2. Методы непосредственного решения задачи условной оптимизации, основанные на движении из одной допустимой точки, где выполнены все ограничения, к другой допустимой точке с лучшим значением целевой функции. Эти методы называются методами возможных направлений.

Основная идея методов первой группы состоит в том, чтобы аппроксимировать исходную задачу условной оптимизации некоторой вспомогательной задачей, решение которой менее сложно, чем решение исходной. Ограничившись одной задачей, можно получить лишь приближенное решение. Если же использовать последовательность задач «сходящихся» к исходной, то искомое точное решение в большинстве случаев окажется пределом соответствующей последовательности приближенных решений. На практике для получения решения исходной задачи с требуемой точностью достаточно бывает решить конечное число вспомогательных задач. При этом информацию, полученную в результате решения очередной вспомогательной задачи, обычно удается эффективно использовать для решения следующей. Идея преобразования задачи с ограничениями в задачу безусловной оптимизации связана с наличием эффективных и надежных методов безусловной оптимизации.

К первой группе методов относятся метод штрафов, метод барьеров, метод Фиакко-Маккормика, метод множителей.

Ко второй группе методов относятся метод проекции градиента и метод возможных направлений Зойтендейка.