Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции / 4_Безусловный поиск минимума функции.doc
Скачиваний:
173
Добавлен:
20.06.2014
Размер:
1.09 Mб
Скачать
      1. Методы оптимизации функции одной переменной

Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной, т.е. такую точку, что.

Для решения этой задачи могут быть использованы методы полиномиальной аппроксимации, которые основываются на аппроксимации на некотором интервале , таком, что, функциинекоторым полиномом. Тогда задача нахождения минимума функциизаменяется задачей нахождения минимума полинома. Необходимыми условиями эффективной реализации такого подхода является унимодальность и непрерывностьв аппроксимируемом интервале.

Согласно теореме Вейерштрасса об аппроксимации, если функция непрерывна в некотором интервале, то её с любой степенью точности можно аппроксимировать полиномом достаточно высокого порядка. Следовательно, если функция унимодальна и найден полином, который достаточно точно её аппроксимирует, то координату точки оптимума функции можно оценить координатой точки оптимума полинома.

Согласно теореме Вейерштрасса качество оценок координат точки оптимума можно повысить двумя способами:

  1. использованием полинома более высокого порядка

  2. уменьшением интервала аппроксимации.

Второй способ является более предпочтительным, поскольку процедура построения полинома выше 3-го порядка довольно сложная.

          1. Метод квадратичной интерполяции

Пусть известно значение функции f(x) в трех несовпадающих точках х1, х2, х3. Тогдаf(x) может аппроксимирована квадратичным полиномом вида:

где A,B,C– определяются из уравнения:

После решения этих уравнений получаем:

A=[(x3-x2)f1+(x1-x3)f2+(x2-x1)f3]/

B=[(x22-x32)f1+(x32-x12)f2+(x12-x22)f3]/

C=[x2x3(x3-x2)f1+ x1x3 (x1-x3)f2+ x2x1 (x2-x1)f3]/

=(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)

Точка минимума полинома вычисляется следующим образом:, при

Тогда оценить точку оптимума функции f(x) можно значением(оценка оптимальности):

          1. Метод Пауэлла (квадратичной интерполяции)

Шаг1. Задать начальную точку , величину шага,и- малые положительные числа, характеризующие точность

Шаг 2. Вычислить

Шаг 3. Вычислить и

Шаг 4. Сравнить с:

а) если , положить

б) если , положить

Шаг 5. Вычислить

Шаг 6. Найти ,

Шаг 7. Вычислить точку минимума интерполяционного полинома, построенного по трем точкам:

и величину функции . Если знаменатель дроби на некоторой итерации обращается в ноль, то результатом интерполяции является прямая. В этом случае рекомендуется обозначитьи перейти к шагу 2.

Шаг 8. Проверить выполнение условий окончания:

и .

Тогда

а) если оба условия выполнены, процедура закончена и ;

б) если хотя бы одно из условий не выполнено и , выбрать наилучшую точку (или) и две точки по обе стороны от нее. Обозначить эти точки в естественном порядке и перейти к шагу 6.

в) если хотя бы одно из условий не выполнено и , то положитьи перейти к шагу 2.

          1. Метод первого приемлемого значения (квадратичная интерполяция с использованием производных).

Данный метод отличается от предыдущего тем, что полином строится исходя из значений f(x) в двух точках х1, х2 (f(х1) иf(х2)) иf’(х1) илиf’(х2) (производная определяет тангенс угла наклона в точке).

Тогда для нахождения коэффициентов квадратичного полинома используется следующая система:

Решая эту систему получаем:

          1. Метод кубической интерполяции (Давидона)

Для кубической интерполяции в методе Давидона используется значение функций и ее производных, вычисленных в точках х1, х2.

Используется кубический полином следующего вида:

Параметры а0, а1, а2, а3 подбираются т.о., чтобы значениеP(х) иP’(х) в точках х1, х2совпадали со значениямиf(х) иf’(х).

Решение, определяющее стационарную точку кубического полинома выглядит следующим образом:

Эта формула гарантирует, что точка расположена между х1, х2.

Процесс поиска заканчивается, если производная в полученной точке достаточно мала, или процедура становится неэффективной.