1. Линейность

Если

,

то для любых чисел

.

2. Правило изображения производных

Производные функции аргумента t (имеющего смысл времени) по традиции, идущей в механике от Ньютона, будем обозначать точкой: – первая производная, – вторая производная и т.д.

Если , то

Это означает, что операции дифференцирования оригиналов соответствует гораздо более простая операция умножения на аргумент p для изображений.

8.2. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами¹

.

применим к обеим частям уравнения преобразование Лапласа. Пусть . Воспользуемся линейностью преобразования Лапласа, формулами для изображения производных и начальных условий . Получим уравнение для нахождения неизвестного нам изображения

.

Вместо линейного дифференциального уравнения для оригинала получили линейное алгебраическое уравнение для его изображения . Оно легко решается:

.

Найдя по изображению оригинал , мы получим искомое решение.

8.3. Примеры решения задач

1. Найти изображения следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

◄ а) По формуле 3 таблицы , а по формуле 1 таблицы . По свойству линейности . Таким образом, изображение функции является функция .

б) По формуле 4 таблицы .

в) По формуле 2 таблицы .

г) По формулам 5 и 6 таблицы

, .

По свойству линейности .

д) По формулам 7 и 8 таблицы

, .

По свойству линейности .►

2. По заданным изображениям найти их оригиналы:

а) ; б) ; в) .

◄а) Подгоним под формулу 4 таблицы с

.

Итак, – оригинал для .

б) .

По формулам 7 и 6 , .

По свойству линейности .

в) Для нахождения оригинала дроби вспомним, что мы умеем представлять «сложные» дроби в виде суммы простейших. Для этого сначала разложим знаменатель на множители. Квадратное уравнение имеет корни и . Таким образом, и дробь имеет вид

.

Её разложение в сумму простейших дробей имеет вид

,

где коэффициенты подлежат определению (каждому множителю в знаменателе в левой части соответствует простейшая дробь в правой части). Приведём правую часть этого равенства к общему знаменателю

и приравняем числители

.

Положим здесь p равным корням знаменателя

Итак,

.

По формуле (3) таблицы

.

Из и , учитывая линейность преобразования Лапласа, получаем .►

3. Найти решение задачи Коши

.

◄ Пусть – искомое решение, а – его изображение. По формулам с учетом начальных условий получаем изображение производных

По формуле (3) таблицы . Применим к обеим частям уравнения преобразование Лапласа, используя его линейность и найденные изображения. Получим уравнение для нахождения :

или ,

,

.

Отсюда

.

Оригинал этой функции – искомое решение найден в примере 2: . ►

4. Найти решение задачи Коши

.

◄ Пусть . По формуле с учетом начальных условий . По формуле (4) таблицы . Применим к обеим частям уравнения преобразование Лапласа

или .

Откуда .

Полученную дробь разложим на простейшие. Заметим, что множитель не имеет действительных корней и на линейные множители не раскладывается, а корень имеет кратность 2. В этом случае разложение на простейшие дроби имеет вид

.

.

Запишем правую часть равенства в виде стандартного многочлена (то есть расположенного по убывающим степеням p):

.

Используя теорему о равенстве многочленов, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей уравнения:

.

По формулам (6), (3) и (4) таблицы

.

.

.►