6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения вторОго порядка. Метод вариации произвольной постоянной

6.1. Сведения из теории

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) решения линейного неоднородного уравнения

является универсальным (для любой ).

Для линейного уравнения второго порядка, общее решение соответствующего ему однородного уравнения будет , где является фундаментальной системой решений и зависит от корней характеристического уравнения.

Решение линейного неоднородного уравнения ищется в виде

,

получающемся из общего решения однородного уравнения заменой произвольных постоянных на функции . Нахождение функций и является основной задачей метода вариации произвольных постоянных. Чтобы найти эти функции надо решить систему:

Пусть , – решение этой системы.

Интегрируя эти равенства, находим:

, ,

где – произвольные постоянные.

Подставляя найденные в , получим общее решение уравнения .

6.2. Примеры решения задач

1. Решить уравнение .

◄ Решим однородное уравнение . Характеристическое уравнение . .

.

Система для этого уравнения имеет вид

Умножим обе части каждого уравнения системы на . Получим

Из первого уравнения системы выразим и подставим во второе. Получим: или .

Умножим обе части этого уравнения на : . Проинтегрируем это равенство. Тогда . Вычислим . Сделаем замену , тогда и .

Итак, .

Подставив в уравнение выражение , получим . Интегрируя, находим: .

Итак,

.

Подставляем и и получаем общее решение нашего уравнения

.

Раскрыв скобки и перегруппировав, получим общее решение в виде

,

где A и B произвольные постоянные. ►

7. Системы дифференциальных уравнений

7.1. Сведения из теории

Система вида

где x – независимая переменная, неизвестные функции независимой переменной x называется нормальной системой.

Решением такой системы являются функции . Одним из методов решения системы является метод исключения неизвестных.

Для двух неизвестных функций система имеет вид:

7.2. Примеры решения задач

1. Решить систему

◄ Продифференцируем первое уравнение системы: . Заменим правой частью из второго уравнения: , а затем заменим v выражением, полученным из первого

или .

. Получили линейное однородное уравнение второго порядка. Решим его: . .

Ответ: ►

8. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ

ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

8.2. Сведения из теории

Если функция-оригинал, - изображение функции , то преобразование Лапласа устанавливает соответствие между изображением и оригиналом следующим образом:

это соответствие записывают так

.

В приложении приведена таблица соответствий между оригиналами и изображениями.

Приведём основные правила (свойства) преобразования Лапласа, которыми будем пользоваться.