4.3. Примеры решения задач
Решить задачу Коши.
.
◄ Составим
характеристическое уравнение:
.
;
,
.
Итак, его корни
,
действительны и различны. Следовательно,
общее решение
,
а
значит
.
В два последних равенства подставим
начальные условия и получим систему
уравнений относительно
и
:
откуда
находим
.
Таким образом, решение задачи Коши имеет
вид
.►
Решить уравнение
.
◄
Характеристическое
уравнение
,
откуда
– корень кратности 2.
– общее
решение. ►
Решить уравнение
.
◄ Решим
характеристическое уравнение
.
.
,
.
Фундаментальная система решений:
;
.
– общее
решение. ►
Решить уравнение
.
◄ Характеристическое
уравнение
.
Откуда
или
.
Корни уравнения:
,
.
Поэтому фундаментальная система решений:
;
;
.
Общее
решение
.►
Решение ЛинейныХ неоднородныХ дифференциальныХ уравнениЙ с постоянными коэффициентами и специальными правыми частями
5.1. Сведения из теории
Уравнение вида
,
где
– постоянные действительные числа,
называется линейным
неоднородным дифференциальным уравнением
с постоянными коэффициентами n-го
порядка,
решением которого является функция
,
где
общее решение линейного однородного
уравнения ,
частное решение .
Для
нахождения
используют метод подбора решения. Этот
метод может быть использован лишь в том
случае, если
– функция, являющаяся правой частью
уравнения имеет вид
,
где
,
– многочлены степеней k
и l
соответственно.
Частное
решение
такого уравнения можно искать в виде
,
где
,
– многочлены с неопределенными
(буквенными) коэффициентами степени
;
показатель
,
если корни характеристического уравнения
не совпадают с
,
и
равно кратности корня p
характеристического уравнения, если
.
Заметим, что при решении конкретных
задач коэффициенты многочленов
и
обычно удобнее обозначать не одной
буквой с индексом, как выше, а разными
буквами, например
Рассмотрим некоторые частные случаи:
Пусть
,
где
– многочлен степени n.
Тогда частное решение
можно представить в виде
,
где
– многочлен той же степени, что и
,
а r
– число корней характеристического
уравнения, равных нулю.
Пусть
,
тогда
,
где r
– число корней характеристического
уравнения, равных α.
Если включает в себя функции
и
,
то этот случай рассматривался выше в
общем виде.
Пусть правая часть уравнения представляет собой сумму двух функций
,
каждая из которых соответствует виду
, тогда решение уравнения имеет вид:
,
где
и
– частные решения уравнения,
соответствующие
и
.
Количество слагаемых в правой части
может быть любым.
5.2. Примеры решения задач
Решить уравнение
.
◄ Это
линейное неоднородное уравнение 2-го
порядка с постоянными коэффициентами.
Соответствующее линейное однородное
уравнение:
.
Его характеристическое уравнение
имеет корни
,
тогда
.
Правая
часть неоднородного уравнения –
многочлен второй степени, частный случай
правой части вида с
.
Так как
,
а характеристическое уравнение не имеет
корня равного 0, то
и решение
надо искать в виде многочлена второй
степени:
,
где A,
B,
C
неизвестные коэффициенты, которые надо
найти. Подставляя
,
и
в исходное уравнение, получим
.
Представим левую часть в виде многочлена второй степени:
.
Приравняв
коэффициенты при одинаковых степенях
в левой и правой частях, получим систему
.
Таким
образом,
.
Общее
решение имеет вид
.►
Решить уравнение
.
◄ Используя решение предыдущего примера, запишем
.
Составим
.
Так как
– многочлен первой степени, умноженный
на
,
где
,
то
,
так как
является корнем характеристического
уравнения, причем один раз. Отсюда
частное решение неоднородного уравнения
ищем в виде
.
Вычислим его производные и подставим
в уравнение, оформив эти процедуры в
виде следующей схемы, где слева
коэффициенты при функции и ее производных
в дифференциальном уравнении
4 |
|
–5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Приравниваем
коэффициенты при одинаковых степенях
в левой и правой частях, и решаем
полученную систему уравнений.
.
Общее
решение
.
►
Решить уравнение
.
◄ Найдем
.
Для этого решим характеристическое
уравнение
имеет корни
,
.
.
Для составления
рассмотрим
;
.
.
Но
таких чисел нет среди корней
характеристического уравнения,
следовательно,
.
(A
и B
– многочлены нулевой степени, что
соответствует коэффициенту 1 в правой
части).
-9 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
или
Приравнивая
коэффициенты при
и
в левой и правой частях этого равенства,
получаем
.
Общее
решение
.►