3. Комплексные числа

1. Сведения из теории

К омплексным числом c называется упорядоченная пара действительных чисел и обозначается . Комплексное число можно изобразить точкой на координатной плоскости (см. рисунок). Действительное число a называется действительной частью комплексного числа и обозначается . Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа и обозначается . Суммой и произведением двух комплексных чисел и являются комплексные числа, которые определяются следующим образом:

, .

Действительные числа a содержатся в классе комплексных чисел в качестве пар .

Мнимой единицей называется число . Оно удовлетворяет соотношению . Каждое комплексное число может быть записано в виде суммы действительного числа и чисто мнимого числа . Запись называется алгебраической формой комплексного числа.

Два комплексных числа и называются сопряженными комплексными числами.

2. Примеры решения задач

Вспомним формулы для решения квадратного уравнения . Сначала вычислим дискриминант .

Если , то уравнение имеет два разных действительных корня

и .

Если , то уравнение имеет два одинаковых действительных корня (или один корень кратности два) .

Если , то уравнение имеет два сопряженных комплексных корня

, .

1. Решить квадратное уравнение .

◄ Вычислим дискриминант для данного уравнения: уравнение имеет два разных действительных корня и .►

2. Решить квадратное уравнение .

◄ . Так как , то это уравнение имеет два сопряженных комплексных корня:

, ,

для которых является действительной частью, а - мнимой. ►

4. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

4.1. Основные понятия

4.1.1. Сведения из теории

Общий вид линейного однородного уравнения n-го порядка

Теорема. Если – линейно независимые частные решения уравнения , то есть общее решение этого уравнения, где – произвольные постоянные величины. Совокупность n линейно независимых частных решений уравнения называется фундаментальной системой решений.

Для нахождения общего решения уравнения как линейной комбинации частных решений с постоянными коэффициентами составим характеристическое уравнение n-ой степени:

.

Решив его, получим n корней: . В случае различных корней фундаментальная система решений имеет вид: .

4.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

4.2.1. Сведения из теории

Уравнение вида

называется линейным однородным уравнением второго порядка. Коэффициенты – действительные числа.

Линейные однородные уравнения обладают следующим свойством:

линейная комбинация решений линейного однородного уравнения также является решением этого уравнения. Если – частные решения, то , где – любые числа, тоже решение данного уравнения. Но для того, чтобы из частных решений и можно было сформировать общее решение, нужно чтобы функции и были линейно независимы, то есть для них невозможно записать равенство , где – некоторое число, отличное от нуля.

Система линейно независимых частных решений и называется фундаментальной системой решений уравнения . Общее решение уравнения имеет вид , где – фундаментальная система решений, а – произвольные постоянные.

Дифференциальному уравнению второго порядка можно поставить в соответствие алгебраическое уравнение второй степени с теми же коэффициентами

.

Уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения .

Если при решении характеристического уравнения получим , то есть два действительных и различных корня , тогда частными решениями дифференциального уравнения будут функции и . При эти функции нельзя связать равенством , где . Следовательно, эти функции линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения . Тогда его общее решение будет иметь вид

,

где и – произвольные постоянные.

Если для уравнения , то есть , тогда частными решениями дифференциального уравнения будут функции и , а его общее решение имеет вид .

Если же для уравнения , то оно имеет комплексно сопряженные корни , тогда фундаментальную систему решений уравнения образуют функции и , а общее решение дифференциального уравнения имеет вид: .