4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

1. Сведения из теории

Уравнение вида

называется линейным уравнением первого порядка. Если , то получаем линейное однородное уравнение

.

Уравнение вида

, .

называется уравнением Бернулли.

Уравнения и могут быть решены методом Бернулли, который заключается в нахождении решения в виде произведения двух функций и . Если , то . Подставим решение в уравнение , которое обращается в верное равенство . Сгруппируем члены, вынося общий множитель за скобку:

.

Функцию подберем таким образом, чтобы дифференциальное уравнение для функции было как можно проще. Для этого положим . Выразим ; ; разделим переменные и проинтегрируем . Тогда . При известной функции интеграл вычислим. Возьмем частное решение при .

Вспомним, что . Значит

.

При таком подборе функции для функции получается уравнение . Подставив найденную функцию в это уравнение, найдем а, следовательно, и .

2. Примеры решения задач

1. Решить задачу Коши: , .

◄ Уравнение имеет вид , то есть это линейное уравнение, где ; . Ищем решение в виде ; . Подставим в уравнение y и : .

.

Функцию подберем так, чтобы . Тогда для нахождения u останется простое уравнение .

Решим сначала уравнение . Запишем как . Получим . Разделим переменные . Проинтегрируем это равенство . Взяв в качестве функции частное решение при , получим или . Воспользовавшись свойством логарифмов, получим , откуда . Подставим функцию в уравнение . Получим ; умножим обе части этого равенства на : и представим ; разделим переменные и проинтегрируем его . Получим функцию . Тогда общее решение исходного уравнения будет или . Из начальных условий найдем C: ; . Итак, решение задачи Коши . ►

2. Решить уравнение

.

◄ Приведем уравнение к виду : . Будем искать решение в виде . Тогда . Сгруппируем второй и третий члены левой части, вынесем u за скобку и составим систему

Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными

, .

Пусть – частное решение при . или

.

По свойствам логарифмов

1) ; 2) .

Из последнего равенства получим . Отсюда , . Функция v найдена. Подставим ее во второе уравнение системы и найдем u.

. Разделим обе части уравнения на : .

или . . .

Вернемся к решению уравнения и получим . Окончательно получаем: .►

2. Дифференциальные уравнения высших порядков

1. Основные понятия

1. Сведения из теории

Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка:

,

где x – независимая переменная, y – искомая функция, зависящая от x.

В общем случае функция находится в результате n последовательных интегрирований. Поэтому общее решение содержит n произвольных постоянных

и называется общим интегралом или общим решением уравнения .

Если придать каждой произвольной постоянной конкретные значения, то получим частное решение уравнения .

Чтобы из общего решения выделить одно частное решение, необходимо задать начальные условия:

, , , …, .

Рассмотрим некоторые частные случаи решения уравнения , где n больше единицы.

2. Простейшее дифференциальное уравнение n-го порядка

1. Сведения из теории

Дифференциальное уравнение вида

решается n-кратным интегрированием:

,

,

…………..

.

2. Примеры решения задач

1. Решить уравнение .

◄ .

.

.►

2. Решить уравнение .

◄ Приведем уравнение к виду . . Воспользуемся формулой двойного угла и сократив дробь в правой части на , получим . Проинтегрируем трижды это уравнение.

.

.

.►

3. Уравнение второго порядка,

не содержащее явно искомой функции

1. Сведения из теории

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

.

Решить это уравнение можно понижением порядка. Для этого введем замену , тогда .

2. Примеры решения задач

1. Решить задачу Коши .

◄ Так как уравнение не содержит зависимой переменной y, то для понижения порядка введем замену , тогда . Подставим в уравнение

.

Разделим переменные и проинтегрируем.

.

Для нахождения подставим значения и . Откуда . Вернемся к полученному равенству: или . Это простейшее дифференциальное уравнение. . Для нахождения подставим : . Таким образом, частное решение примет вид . Задача Коши решена. ►

4. Уравнение второго порядка,

не содержащее явно независимой переменной x

1. Сведения из теории

– дифференциальное уравнение второго порядка этого типа. Понижаем порядок с помощью замены , тогда

, но , отсюда .

2. Примеры решения задач

1. Решить дифференциальное уравнение .

◄ Уравнение не содержит явно независимой переменной . Делаем замену , тогда . Подставив это выражение в уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными для функции . . Разделим переменные и проинтегрируем

. .

Таким образом, и для функции y получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными или . Разделим переменные . Так как , то .

Проинтегрируем уравнение:

.

или . ►