2. Примеры решения задач

1. Найти частное решение уравнения при заданных начальных условиях .

◄ 1) Это простейшее дифференциальное уравнение вида . Его решение получим интегрированием . По таблице интегралов находим общее решение .

2) Для нахождения частного решения подставим в общее решение значения и , получим , отсюда . Подставим найденное значение C в общее решение и получим – частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. ►

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

1. Сведения из теории

Если дифференциальное уравнение имеет вид

,

то оно называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для его решения представим в виде отношения дифференциалов . Разделим обе части уравнения на и умножим на : . Проинтегрируем обе части равенства . Отсюда . Вычислив интегралы, получим общий интеграл уравнения .

2. Примеры решения задач

1. Найти общее решение уравнения .

◄ Это уравнение можно представить в виде , где ; . Таким образом, это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Представляем в виде , умножаем обе части уравнения на , делим на : . Интегрируем это равенство

– общий интеграл. Разрешим его относительно y: ; – общее решение. ►

2. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

◄ Надо решить задачу Коши при начальных данных . Разделим обе части уравнения на x: . Правая часть уравнения представлена в виде произведения двух функций и , следовательно, это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем это равенство.

.

.

Для нахождения частного решения надо найти C. Подставим в последнее равенство и :

.

Вернемся к общему решению. Подставим в него . Получим частное решение . Выразим y: – частное решение.►

3. Решить уравнение .

◄ Разделяем переменные: ; . Проинтегрируем последнее равенство (Функция принимает все действительные значения, поэтому постоянную интегрирования можно представить в виде ). По свойствам логарифмов ( ; ) получим отсюда – общее решение. ►

3. Однородные уравнения

1. Сведения из теории

Если дифференциальное уравнение записано в нормальном виде и в его правой части присутствует выражение, содержащее искомую функцию в виде отношения , то такое уравнение называется однородным

.

Оно сводится заменой переменной к уравнению с разделяющимися

переменными, где – новая неизвестная функция. Выразим . Так как , то приводится к виду , ;

– уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем .

Вычислив интегралы, получим общий интеграл и вернемся к старой функции, заменив .

2. Примеры решения задач

1. Решить уравнение .

◄ Разделим обе части уравнения на x: , а затем - на :

.

В правую часть уравнения y и x входят только в виде отношения , то есть данное уравнение является однородным. Делаем замену . Тогда , . Для функции получаем уравнение: или . Приводя к общему знаменателю, получим уравнение с разделяющимися переменными: . Заменим на и разделим переменные .

.

Вернемся к y:  общее решение в неявном виде. ►

2. Найти решение дифференциального уравнения .

◄ Разделим равенство почленно на x: . При внесении x под знак квадратного корня получим

или .

В правую часть уравнения y и x входят только в виде отношения , то есть данное уравнение является однородным. Делаем замену . Тогда , . Для функции получаем уравнение: или , которое является уравнением с разделяющимися переменными. Заменим на и разделим переменные . Проинтегрируем .

Вернемся к y:  общее решение в неявном виде.►