Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ярославский государственный технический университет»

Кафедра высшей математики

Рекомендовано

ученым советом

инженерно-экономического

факультета

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Методические указания и задания для контрольных работ

для студентов факультета дополнительного профессионального образования

Ярославль

2008

УДК 517(07)

МУ 33-08. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Метод. указания и задания для контрольных работ для студентов факультета дополнительного профессионального образования / Сост.: В.А. Журавлева, Т.П. Чуйко, Л.А. Сидорова. – Ярославль : Изд-во ЯГТУ, 2008. – 48 с.

Содержат краткие теоретические сведения по разделу «Дифференциальные уравнения», подробно разобранные типовые задачи, а также 30 вариантов контрольных заданий.

Предназначены для студентов 2 курса всех направлений и специальностей факультета дополнительного профессионального образования. Могут быть полезны при подготовке контрольных работ и выполнении домашних заданий.

Илл. 2. Библиогр. 5.

Рецензенты: кафедра высшей математики Ярославского государственного технического университета;

Н.И. Иванова, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры статистики и математики ЯФ МЭСИ.

_______________________________________________________________

План 2008

Редактор В.Б. Доронина

Подписано в печать 27.04.08. Формат 60х84 1/16. Бумага белая.

Печать ризограф. Усл. печ. л. 2,79. Уч.-изд. л. 2,74.

Тираж 400. Заказ

Ярославский государственный технический университет

150023, Ярославль, Московский пр., 88

Типография Ярославского государственного технического университета

150000, Ярославль, ул. Советская, 14а

ã Ярославский государственный технический университет, 2008

1. Дифференциальные уравнения

первого порядка

1. Основные понятия

1. Сведения из теории

Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое содержит независимые переменные, неизвестные функции, зависящие от этих переменных, а также производные неизвестных функций или их дифференциалы.

Если функции, входящие в дифференциальное уравнение, зависят от одной независимой переменной, уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Наивысший порядок производной от искомой функции, входящей в уравнение, называется порядком этого уравнения.

Уравнение

,

называется дифференциальным уравнением первого порядка, где – искомая функция независимой переменной x; – производная этой функции, а F – известная функция, зависящая от .

Если из уравнения можно выразить , то дифференциальное уравнение первого порядка будет иметь так называемый нормальный вид или вид, разрешенный относительно :

Решением дифференциального уравнения или называется функция , которая, будучи подставленной в это уравнение, обращает его в тождество (то есть верное равенство для всех значений x).

Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решением этого уравнения будет первообразная функции . Все множество решений задается формулой

,

где – некоторая первообразная функции , а C – произвольная постоянная. Придавая C различные значения, получаем бесчисленное множество функций, являющихся решением дифференциального уравнения . Аналогично и для уравнения . Итак, дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Совокупность всех его решений называется общим решением дифференциального уравнения. В явном виде общее решение можно записать , где C – произвольная постоянная.

В неявном виде общее решение записывается

и называется общим интегралом уравнения .

При решении реальных задач бывает нужно не общее, а частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям, которые называются начальными условиями. Задача о нахождении частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях называется задачей Коши и формулируется следующим образом:

Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию: при , (начальные условия),

где , – некоторые заданные числа.