Степенные ряды

Определение: Выражение вида называется функциональным рядом.

Определение: Степенным рядом называется функциональный ряд вида где x – независимая переменная, - фиксированное число, - постоянные коэффициенты.

При степенной ряд принимает вид:

.

Определение: Областью сходимости степенного ряда называется совокупность всех значений x, при которых данный ряд сходится.

Нахождение области сходимости состоит из двух этапов:

1. Определяется интервал сходимости степенного ряда, т.е. интервал числовой оси, симметричный относительно точки x=0 и обладающий тем свойством, что при всех - ряд сходится. R – радиус сходимости находится по формуле: .

2. Исследуется сходимость ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках x= -R и x=R .

В зависимости от результатов исследования, область сходимости запишется одним из следующих неравенств:

или ;

или ;

или ;

или .

Для степенного ряда вида интервал сходимости имеет вид или .

Пример 1:Найти область сходимости степенного ряда .

Решение: Найдем радиус сходимости степенного ряда .

В данном случае , тогда

Запишем интервал сходимости: . Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При получаем числовой ряд - это гармонический ряд, он расходится.

При получаем знакочередующийся ряд . Исследуем его на сходимость с помощью признака Лейбница: и

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно ряд сходится.

Рассмотрим ряд из модулей его членов . Как показано выше данный ряд расходится. Отсюда можно сделать вывод, что при заданный степенной ряд сходится условно.

Ответ: Область сходимости ряда .

Основы теории вероятностей и математической статистики Комбинаторика

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечно­го множества. В каждой из них требуется ответить на вопрос «сколькими способами?».

Размещениями из элементов по элементов на­зываются соединения, каждое из которых состоит из элементов, взятых из данных элементов. При этом размещения отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком.

Число размещений из элементов по элементов обозначается символом и вычисляется по формуле или , где

Перестановками из элементов называются раз­мещения из элементов по элементов, отличающиеся друг от друга лишь порядком элементов. Число перестановок из эле­ментов обозначается символом и вычисляется по фор­муле: .

Сочетаниями из элементов по элементов на­зываются соединения, каждое из которых состоит из элементов, взя­тых из данных элементов. Эти соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. В отличие от размещений, порядок следования элементов здесь не учитывается. Число сочетаний из элементов по элементов обозначается сим­волом и вычисляется по формуле: .

Пример 1. Составить различные размещения по 2 из элементов мно­жества ; подсчитать их число.

Решение. Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: , , , , , . Согласно форму­ле (1) их число: = 3·2 = 6 .

Пример 2. Составить различные перестановки из элементов мно­жества ; подсчитать их число.

Решение. Из элементов данного множества можно составить следующие пе­рестановки: (2,7,8); (2,8,7); (7,2,8); (7,8,2); (8,2,7); (8,7,2). По фор­муле (3) имеем: = 3! = 1·2·3 = 6 .

Пример 3. Составить различные сочетания по 2 из элементов мно­жества ; подсчитать их число.

Решение. Из трех элементов можно образовать следующие сочетания по два элемента: ; ; . Их число: .