Пример 1: Найти общее решение уравнения .
Решение:
Пусть
,
тогда
.
После
подстановки имеем
или
.
Интегрируя
обе части равенства, получим
.
Вернувшись
к функции y
, получаем уравнение
.
Интегрируя
его
,
получим
-это есть общее решение уравнения.
Ответ:
.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение:
Уравнения вида
,
где p и q–
постоянные величины, называются линейными
однородными дифференциальными уравнениями
второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Для
отыскания общего решения такого уравнения
составляется характеристическое
уравнение
,
которое решается как квадратное уравнение. При его составлении в исходном уравнении производные функции y заменяются соответствующей степенью переменной k, причем сама функция y заменяется единицей.
Общее
решение исходного дифференциального
уравнения строится в зависимости от
характера корней
и
.
Возможны три случая:
и – действительные и различные, тогда
;
и – действительные и равные, тогда
и
;
3)
и
–
комплексно-сопряженные:
,
,
тогда
.
Пример1: Решить дифференциальное уравнение
y˝- 5y΄- 6y = 0.
Решение: Заменим данное уравнение характеристическим:
.
решаем
его, получаем
.
,
.
Как видно, корни действительные и различные , поэтому
общее
решение можно записать в виде
.
Ответ: .
Пример
2: Решить
дифференциальное уравнение
.
Решение: Заменим данное уравнение характеристическим
,
найдем корни
,
,
значит
.
Отсюда
действительная часть
комплексного
числа
, мнимая
часть
,
следовательно общее решение имеет вид:
.
Ответ:
Пример 3: Решить дифференциальное уравнение
.
Решение: Заменим данное уравнение характеристическим:
.
Решая
его, получаем
;
,
получили
комплексно - сопряженные корни, где
и
.
Тогда общее решение запишется в виде
.
Ответ:
Пример 4: Решить дифференциальное уравнение
.
Решение: Заменим данное уравнение характеристическим:
.
Решая
его, получаем
;
,
получили два одинаковых действительных корня, тогда
общее
решение уравнения запишется в виде
.
Ответ: .
Математический анализ. Ряды Понятие числового ряда. Признаки сходимости числовых рядов
Определение:
Числовым рядом называется выражение
вида
,
где числа
–
называются членами ряда, член
–
общим членом ряда.
Суммы конечного
числа членов ряда:;
;
;
называются частичными суммами ряда.
Так как число членов ряда бесконечно,
то частичные суммы ряда образуют
бесконечную последовательность частичных
сумм
.
Определение: Ряд
называется сходящимся, если
последовательность его частичных сумм
при
n стремящемся к ∞
имеет конечный предел:
.
Число S в этом случае называется суммой ряда.
Если же последовательность частичных сумм при n стремящемся к ∞ конечного предела не имеет, то ряд называется расходящимся.
Необходимый признак сходимости ряда: Если ряд сходится, то общий член ряда an при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю, т.е.
.
Достаточный признак расходимости ряда:
Если
,то ряд
расходится.