Численное решение дифференциальных уравнений

Для исследования дифференциальных уравнений широко используются приближенные, численные методы их решения. Численное решение на отрезке [a, b] задачи Коши y' = f(x, y),  y(a) = y₀ состоит в построении таблицы приближенных значений y₀, y₁, ..., y_i, ... y_N  решения y(x) в узлах сетки a=x₀ < x₁ < ... < x_i < ...< x_N=b,  y(x_i)≈ y_i. 

Если x_i = a+ i h, h=(b-a)/ N, то сетка      называется равномерной.

Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке x₀ + h используется информация о решении только в точке x₀.

Простейший одношаговый метод численного решения задачи Коши - метод Эйлера. В методе Эйлера величины y_i   вычисляются по формуле  y_i+1 = y_i + h f(x_i , y_i),   i = 0, 1, ...

Пример 1. Решение задачи Коши методом Эйлера. Найдем методом Эйлера на отрезке [0, 1] c шагом h=0.2 приближенное решение задачи Коши y' = sinx - cosy, y(0)=1. 

Расчетные формулы метода Эйлера для решения этой задачи имеют вид

x₀=0, y₀= 1, 

x_i+1 = x_i + 0.2, 

y_i+1 = y_i + 0.2(sinx_i - cosy_i),

i =0, 1, 2, 3, 4.

Таким образом, вычисляем, подставляя значения x в радианах:

x₀=0, y₀= 1

x₁=0,2, y₁= 1+0,2(sin0,2 – cos0,2)=1+0,2(0,1987 - 0,98)=0,84

x₂=0,4, y₂= 0,84+0,2(sin0,4 – cos0,4)=0,84+0,2(0,3894 - 0,921)=0,73

x₃=0,6, y₃= 0,73+0,2(sin0,6 – cos0,6)=0,73+0,2(0,5646 - 0,8253)=0,68

x₄=0,8, y₄= 0,68+0,2(sin0,8 – cos0,8)=0,68+0,2(0,7174 – 0,6967)=0,68