Случайная величина и её характеристики

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать. Случайные величины, как правило, полностью определяются заданием их функции плотности, указывающей на зоны более вероятных и менее вероятных значений величины. Часто, однако, интересуются более сжатыми характеристиками распределений случайных величин, выраженными отдельными числами. К таким характеристикам, в первую очередь, относятся математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

Математическое ожидание M(x)— понятие среднего значения случайной величины в теории вероятностей, которое вычисляется по формуле:

Дисперсия — мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения от математического ожидания.

Где - математическое ожидание величины, а - среднеквадратичное отклонение.

Среднеквадратичное отклонение – показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают. Медиана всегда находится на середине вариационного ряда.

Мода — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. Случайная величина может не иметь моды. Иногда в совокупности встречается более чем одна мода (например: 2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10; мода = 6 и 9). В этом случае можно сказать, что совокупность мультимодальна. Мода, медиана, математическое ожидание часто находятся рядом, но далеко не всегда совпадают!

Распределение случайных величин

В теории вероятностей под распределением случайной величины понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями или, в статистике, между наблюдаемыми величинами и их частотами.

Распределение, когда на центральную часть значений приходятся наибольшие частоты, а на крайние значение – меньшие частоты принято называть нормальным. график такой случайной величины выглядит следующим образом:

Надо знать, что кроме нормального распределения случайных величин есть также другие виды, подробнее о них можно узнать в литературе по математической статистике: биномиальное, пуассоновское, показательное, равномерное и др.

Пример 1. Дана таблица распределения веса почтовых отправлений за текущий месяц.

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, моду и медиану данной случайной величины:

Интервалы ∆i	(6; 10)	(10; 14)	(14; 18)	(18; 22)	(22; 26)	(26; 30)	(30; 34)	(34; 38)
Частоты ni	4	15	38	58	50	26	8	1

Объем выборки, по которой построен статистический ряд, равен n = 4+15+38+58+50+26+8+1= 200 - получают суммированием частот из второй строки таблицы. Относительные частоты вычисляем по формуле

Интервалы ∆i	(6; 10)	(10; 14)	(14; 18)	(18; 22)	(22; 26)	(26; 30)	(30; 34)	(34; 38)
Частоты ni	4	15	38	58	50	26	8	1
Относ.част. ωi	0,02	0,075	0,19	0,29	0,25	0,13	0,04	0,005
Середины xi*	8	12	16	20	24	28	32	36

Сумма относительных частот должна равняться единице. Для построения гистограммы надо над каждым интервалом статистического ряда построить прямоугольник, площадь которого равна соответствующей относительной частоте. Высоты этих прямоугольников определяем по формуле _, где ∆=4 длина интервала в статистической таблице. С точностью до третьего знака после запятой получаем: h1=0,005, h2=0,019, h3=0,048, h4=0,068, h5=0,073, h6=0,032, h7=0,01, h8=0,001. .

Для построения полигона частот найдем середины каждого из интервалов и отметим частоту для каждого из значений. Соединим их ломаной линией.

Модой данной величины будет интервал 18 – 22 (т.к. таких посылок было отправлено больше всего).

Медиана – лежит также в интервале 18-22 (т.к. это находится посередине выборки. И если разделить все посылки (200 шт.) пополам, граница между половинками будет именно в интервале 18-22

Для расчета математического ожидания, найдем вероятности появления почтовых отправлений (которые соответствуют относительным частотам). Всего было отправлено, значит:

Относ.част. ωi	0,02	0,075	0,19	0,29	0,25	0,13	0,04	0,005
Середины xi*	8	12	16	20	24	28	32	36