Линейная алгебра Понятие и формы записи комплексных чисел

Комплексным числом называется выражение вида  , i - символ, называемый мнимой единицей и обладающий свойством . Действительные числа x и y называются действительной и мнимой частями комплексного числа  и обозначаются через  Re z и Im z соответственно.

Всякое комплексное число   может быть изображено точкой M(x,y) с абсциссой x и ординатой y в координатной плоскости, называемой комплексной(см. рис. 1).

Рис. 1

Число   называется модулем комплексного числа  , обозначается символом |z| и равно расстоянию от начала координат О до точки M, изображающей число z.

Угол φ между положительным направлением оси Оx и вектором называется аргументом Arg z комплексного числа . При этом   если движение от оси Ox осуществляется против часовой стрелки, и в противном случае. Значения Arg z определяется неоднозначно, с точностью до слагаемых, кратных  . Поэтому из всех значений Arg z выбирается главное значение, которое лежит в интервале   и обозначается через arg z.

Главное значение  arg z  вычисляется по формуле

Пример 1 Для числа   имеем   

Запись   называется алгебраической формой числа z.  Из прямоугольного треугольника OAM (см. рис. 1) получаем   Таким образом, справедливо равенство

представляющее тригонометрическую форму числа z. Обозначив символом выражение , получаем показательную форму комплексного числа z

Например,

Пример 2 Дано комплексное число . Требуется записать число в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

1. Найдем алгебраическую форму числа a:

. Числу a соответствует точка М(-1; ), изображенная на рис. 2.

Рис. 2

Найдем модуль и аргумент числа а

,

Тогда тригонометрическая и показательная формы числа а определяются равенствами

Основы дискретной математики Теория множеств

Множество – это совокупность элементов, представляющих между собой единое целое. Имеют место различные операции над множествами. Через обозначается отношение принадлежности, т.е. х А означает, что элемент х принадлежит множеству А. Если х не является элементом множества А, то это записывается х А. Два множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Мы пишем А=В, если А и В равны, и А ≠ В в противном случае. Через обозначается отношение включения множеств, т.е. А В означает, что каждый элемент множества А является элементом множества В. В этом случае А называется подмножеством В, а В — надмножеством А. Если А В и А≠В, то А называется собственным подмножеством В и в этом случае пишем A B. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается через 0. Семейство всех подмножеств данного множества А обозначается через Р(А). Объединением множеств А и В называется множество A B={x │ x А или х В}. Пересечением множеств А и В называется множество А В={x │ х А и х В} Разностью множеств Аи В называется множество А\В={х │ х А и х В}. Кроме того встречается обозначение «–А», которое подразумевает краткую запись U\A, где U – универсум, то есть множество, включающее в себя все другие множества. Тогда « - А » будем считать дополнением к множеству А.

Диаграммы Венна (круги Эйлера - Венна) используются для наглядного изображения множеств. Например:

A B	А В	A B	А\В

Пример 1. Используя диаграммы Эйлера – Венна докажите равенство:

Построим диаграммы для левой и правой частей уравнения:

Выполним по порядку действий левую часть: а) , б)

Аналогично в правой части: а) , б) в)

Получив две одинаковые фигуры в ответе, будем считать, что равенство доказано.