2. Интеграл

Если вы знаете, что производная от функции y = Sin(x) есть функция Y' = Cos(x), то вопрос о понятии первообразной - вопрос лишь терминологии.

В нашем примере

• функция косинуса является производной для функции синуса,

• функция же синуса является (называется) ПЕРВООБРАЗНОЙ по отношению к функции косинуса.

Итак, функция F(x) называется первообразной для f(x), если

F ' (x) = f(x).

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех ее первообразных. Принято записывать

∫ f(x)dx = F(x) + C

Таблица неопределенных интегралов в силу определения первообразной функции вытекает непосредственно из таблицы производных.

Аналогично объясняются другие табличные интегралы.

Так, например, если (х3)' = 3x²,

то ∫ 3x²dx = x³ + C или ∫ x²dx = x³ / 3 + C .

Сущность любого метода интегрирования состоит в сведении заданного интеграла к табличному виду.

Метод замены переменной можно применить, если в подынтегральном выражении встречается сложная функция. Приведем пример: пусть требуется найти интеграл ∫ Sin⁴x* Cosx*dx. Видим, что здесь имеется сложная функция Sin4x - степенная от тригонометрической. Решение проведем в несколько этапов:

1. Обозначим за новую переменную внутреннюю функция

Z = Sinx.

2. Теперь следует найти дифференциал новой переменной

dZ = Z' * dx = Cosx * dx,

3. Выразим дифференциал старой переменной

dx = dZ/Cosx ,

4. Подставим все в исходный интеграл:

∫ z⁴* Cosx*dz/Cosx.

Cosx - сократились, и получился табличный интеграл

∫ z⁴_* dz = z₅/5 +C.

………………………… ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… ………………………… …………………………

Понятие определенного интеграла.

∫^bf(x)dx = Lim{Σ f(d)*dx} при n → ∞.

число - равное площади под графиком функции f(x) на отрезке ab.

3. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называют уравнения, содержащие не неизвестные числа х, у, и так далее, а

Неизвестную функцию у(х),

независимую переменную - х и производные от функции у(х) - y'(х), у''(х) и более высокие производные порядка (n).

В общем случае дифференциальное уравнение записывают в виде

f{х,у(х),y'(х), ... y(ⁿ)(х)} = 0.

Например уравнение х + у*у' = 4.

В простейшем случае дифференциальное уравнение содержит только саму производную

Y’ = 10

Решить дифференциальное уравнение, значит найти такую функцию Y(x), которая обращает исходное уравнение в тождество.

Последнее уравнение можно решить - простым интегрированием - иными словами необходимо записать первообразную функцию для постоянной величины. Это будет функция Y = 10x + С. Действительно производная от (10x + С)’= 10.

10 тождественно равно 10.

Основной закон механики в физике по своей математической сути является дифференциальным уравнением относительно координаты тела х(t). Так как ускорение а(t) = V'(t) = x ''(t) - является первой производной от скорости и второй производной от координаты, то имеем: x''(t) =ΣF / m = mg / m = 9,8 = 10.

(Для свободного падения под действием силы тяжести x''(t) = g )

Именно интегрированием получаются основные кинематические формулы…

	…………………………………………
	………………………………………… ………………………………………… …………………………………………

Для колебания груза на пружине

m*x''(t) = - k*x(t).

Для тела падающего в среде с силой сопротивления

m*V'(t) = mg - 6*π*η*r*V(t).

Более сложный тип уравнения y’ = f(x)

В таком случае решение также находится прямым интегрированием… Y(x) =∫ f(x)dx = F(x) + C.

Например : x³*y' = 7.

Выражая отсюда y' имеем y' = 7*x^-3. Чтобы найти y(x) надо, по сути, найти интеграл

∫ 7*x^-3 dx = - 7*(х ^-2) / 2 + С.

Таким образом, найденная функция y(x) и есть решение дифференциального уравнения.

Могут быть два вида решений: общее и частное решение. В последнем примере y = - 7*(х ^-2) / 2 + С - это общее решение. Оно содержит произвольную постоянную С (причем число произвольных постоянных соответствует порядку дифференциального уравнения).

Частное решение находят из общего решения путем подстановки в общее решение НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ типа y(x₀) = y₀.

Общее решение дифференциального уравнения соответствует множеству функций F(x), в которые входит произвольная постоянная С.

Частное решение - это какая то одна функция, график которой проходит через точку на плоскости XY, заданную начальными условиями.

Решим более сложный пример:

x*y*y' = 3.

Приведем его к виду:

g(y)dy = f(x)dx,

чтобы было можно проинтегрировать и левую и правую части!

Такой метод и называется методом разделения переменных.

В случае если уравнение явно содержит производную y' необходимо умножить обе части уравнения на dx и учесть, что y'dx это дифференциал функции dy (y'dx = dy).

Тогда получим : x*y*dy = 3* dx.

Теперь следует разделить правую и левую части на x: y*dy = 3* dx/х. Так получаются выражения, которые можно интегрировать: ∫y*dy = ∫3* dx/х. Общее решение будет: y = ( 6 Lnx + C )^1/2 .