Содержание.

Понятие производной Y'(x) от функции Y(x). позволяет указать, ……………………. …………………………………………

Если производная Y'(x) принимает большое значение (вблизи какой либо точки), - то ……………………………………

Производная определяется через предел

Y' = Lim (ΔY / ΔX ) , при Δ X стремящимся к нулю.

Прочитайте формулу…………………………………………..

Укажите последовательность действий для вычисления производной "по определению" (для функции Y=x²)………………

Основные элементарные функции и написать для них производные……………………….

(U + V) ' = U' + V' ;

(U - V)' = U' - V' ;

(U * V)' = U' * V + U * V';

(U / V)' = (U' * V - U * V') / V ².

Дифференциал функции dY = Y’ * Δx = Y’ *dx.

Сложной функцией называют функцию не от независимого аргумента х, а функцию от некоторой другой функции.

Производная сложной функции равна произведению производных от каждой функции:

Y' = Y'_U(x) * U'x. Y'_U(x)

- это производная внешней функции, U'x – производная внутренней функции..

Для приближенного вычисления значения функции в некоторой точке приращение функции можно заменить дифференциалом функции:

Y( Xo + ΔX) ≈ Y(Xo) + Y'(Xo) * ΔX.

Это формула будет тем точнее, чем меньше приращение аргумента.

Многие величины зависят не от одной, а сразу от нескольких величин. Так сила тока по закону Ома зависит и от напряжения, и от сопротивления: I = U / R. (запись I = I(U,R))

В общем случае приняты обозначения U = U(X,Y,Z).

Такая запись и отражает тот факт, что величина U является функцией сразу трех независимых переменных - X,Y,Z.

Частные производные находят по тем же правилам, что и производные для функции одной переменной.

Если берут производную по аргументу "x", на другие переменные - y и z смотрят как на постоянные числа! Например,

U = x + xy² - xyz⁴. Тогда

U'x = 1 + y² - yz⁴ ,

U'y = 0 + x(2y) - xz⁴ ,

U'z = xy4z³…

Частный дифференциал, например, по переменной Х это произведение частной производной по этой переменной на приращение этой же переменной:

dUx = U'x * Δ x. (аналогично для других переменных)

Полный дифференциал это сумма частных дифференциалов:

dU = dUx + dUy + dUz.

Графически функции двух переменных отображается поверхностью. Каждой паре значений Х и У соответствует одно значение U. Если фиксировать значение У, то можно получить срез – плоскость ХОU. Частной производной по аргументу Х будет соответствовать тангенс угла наклона касательной ОА. Если фиксировать значение X, то можно получить срез – плоскость УОU.