4.1.5 Алгоритм скалярного множення на еліптичній кривій

Для множення точки еліптичної кривої на велике ціле число застосовується наступний алгоритм:

Вихідні дані: число d¹0, точка P, еліптична крива E = <a,b,p>.

Результат: точка Q = d´P.

1. Якщо d=1, то Q:=P; закінчити роботу алгоритму.

2. k:=l_d–2; Q:=P, де l_d – довжина множника d в бітах;

3. Для i, що приймає значення від k до 0, виконати шаги 4-5.

4. Q := Q+Q.

5. Якщо i-й біт d дорівнює 1, то Q := Q+P.

6. Закінчити роботу алгоритму.

4.2 Завдання на лабораторну роботу

4.2.1 Дано еліптичну криву . Параметри a, b відповідають номеру варіанта (табл. 4.2). Необхідно:

• знайти всі точки, що належать заданій кривій і порядок кривої. Використовувати пакет Maple;

• знайти базову точку;

• представити кожну точку як кратну базовій (знайти показник кратності).

Таблиця 4.2 – Варіанти завдань

1. a=1,b=1	11. a=2,b=1	21. a=2,b=11	31. a=3,b=11	41. a=4,b=10
2. a=1,b=2	12. a=2,b=2	22. a=2,b=12	32. a=3,b=12	42. a=4,b=12
3. a=1,b=4	13. a=2,b=3	23. a=3,b=1	33. a=4,b=1	43. a=5,b=1
4. a=1,b=5	14. a=2,b=4	24. a=3,b=2	34. a=4,b=3	44. a=5,b=2
5. a=1,b=6	15. a=2,b=5	25. a=3,b=4	35. a=4,b=4	45. a=5,b=3
6. a=1,b=7	16. a=2,b=6	26. a=3,b=5	36. a=4,b=5	46. a=5,b=4
7. a=1,b=8	17. a=2,b=7	27. a=3,b=6	37. a=4,b=6	47. a=5,b=5
8. a=1,b=9	18. a=2,b=8	28. a=3,b=7	38. a=4,b=7	48. a=5,b=6
9. a=1,b=11	19. a=2,b=9	29. a=3,b=8	39. a=4,b=8	49. a=5,b=7
10. a=1,b=12	20. a=2,b=11	30. a=3,b=9	40. a=4,b=9	50. a=5,b=8

4.2.2 Реалізувати в Maple алгоритм цифрового підпису ГОСТ Р 34.10. Для тестування використати наступні параметри (в шестнадцатерічній формі):

Модуль перетворень

m=8000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000431;

Еліптична крива

a=7;

b=5FBFF498AA938CE739B8E022FBAFEF40563F6E6A3472FC2A514COCE9DAE23B7E;

Базова точка P(x,y);

Px=2;

Py=8E2A8A0E65147D4BD6316030E16D19C85C97F0A9CA267122B96ABBCEA7E8FC8;

Порядок базової точки:

n= 8000000000000000000000000000000150FE8A1892976154C59CFC193ACCF5B3;

Секретний ключ

d=7A929ADE789BB9BE10ED359DD39A72C11B60961F49397EEE1D19CE9891EC3B28;

Результат множення (відкритий ключ) точка Q(Qx,Qy)

Qx=7F2B49E270DB6D90D8595BEC458B50C58585BA1D4E9B788F6689DBD8E56FD80B;

Qy=26F1B489D6701DD185C8413A977B3СВВAF64D1C593D26627DFFB101A87FF77DA.

4.3 Зміст звіту

1. Титульний лист, тема і мета роботи.

2. Відповіді на контрольні питання.

3. Тексти програм.

4. Результати обчислень.

5. Висновки.

4.4 Контрольні питання

1. Дати визначення еліптичної кривої.

2. Як визначити точку, обернену даній?

3. Які параметри еліптичної кривої необхідно знати для її застосування?

4. Дати визначення порядка групи точок еліптичної кривої?

5. Дати визначення порядка точки еліптичної кривої?

6. Як визначити базову точку?

7. У яких криптографічних алгоритмах застосовуються еліптичні криві?