1.6 Особливості двійкової системи числення
Двійкова система числення має наступні властивості:
- для зображення чисел використовуються два символи;
- ваги розрядів змінюються за законом 2±k (k - довільне ціле число).
Класична двійкова система числення використовує символи 0 і 1, а її двійкові цифри отримали назву бітів.
Для опановування системи числення, треба вміти складати та множити в ній цифри.
Арифметичні операції в двійковій системі числення виконуються, подібно десятковій системі числення, згідно з таблицями порозрядних обчислень.
Множення двійкових чисел цілком визначається наступними двома правилами (таблиця 1а):
1) множення двійкового числа на 0 дає 0;
2) множення двійкового числа на 1 залишає його без змін.
Для додавання двійкових чисел має місце правило, відповідно до якого додавання 0 до будь-якого числа не змінює вказаного числа.
Заповнення клітин таблиці, що відповідають іншим результатам додавання та сполучення 1 і 0, приводить до таблиць додавання в трьох різних системах (таблиця 1б, 1в, 1г).
Таблиця 1
-
А
б
в
Г
0
1
0
1
0
1
+
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
10
Таблиця 1б відповідає арифметиці додавань по mod 2.
Таблиця 1в являє собою найпростіший приклад операції булевої алгебри диз’юнкції.
Таблиця 1г представляє звичайну двійкову систему числення з символами 0 і 1.
Як уже відзначалося, в загальному виді двійкові числа представляються у виді поліному
|
(5) |
Переклад із десяткової системи числення в двійкову систему числення здійснюється одним із наступних способів:
- за загальним правилом перекладу чисел із однієї позиційної системи числення в іншу;
- десяткові числа переводяться у вісімкову систему числення за загальним правилом, а потім вісімкові числа переводяться в двійкові за правилом перекладу чисел для систем із кратною основою.
Зворотний переклад здійснюється аналогічно або за допомогою загального виду запису двійкового числа (5) у виді поліному.
Додавання в двійковій системі числення здійснюється за правилами додавання поліномів.
Відповідно, при додаванні чисел А і В, i-й розряд суми Si та перенос з i-ого розряду суми в (i+1)-й Пi будуть визначатися відповідно до виразу
|
(6) |
де
|
|
Виразу (6) відповідає таблиця 2 додавання однорозрядних двійкових чисел, відповідно до якої, можна також підсумовувати багаторозрядні двійкові числа.
Таблиця 2
ai |
bi |
Пi-1 |
Si |
Пi |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Приклад 7.
Задано: А = 1110 = 10112
В=310=112
Знайти: суму З = А + В.
У результаті поразрядного додавання чисел А і В, одержуємо:
Тобто сума З = A + B = 11102.