1.3 Перетворення правильних дробів з однієї системи числення в іншу систему числення

Нехай правильний дріб A, заданий в довільній позиційній системі числення p із основою q, необхідно перевести в нову систему числення з основою р, тобто перетворити його до виду

. (3)

Якщо, аналогічно перекладу цілих чисел, розділити обидві частини виразу (3) на , тобто помножити на р, то одержимо вираз

Ар = a_-1 + A₁,

де А = (а р + а р + ...+ a p ) - дробова частина добутку;

a_-1 - ціла частина результату.

Отримана цифра цілої частини результату стане першою цифрою розшукуваного числа.

Помноживши дробову частину результату А₁ знову на р, одержимо

А р = a + А ,

де A = (а р + ...+ а р + a p ) - дробова частина наступного (нового) добутку;

a_-2 стане наступною цифрою шуканого числа.

Таким чином, при переведенні дробових чисел із однієї системи числення до іншої, вираз (3) представляється за схемою Горнера наступним чином:

.

Перемноживши даний вираз послідовно k разів на основу р, одержимо розшукуване число в новій системі числення.

На відміну від цілих чисел, точне переведення з однієї системи числення до іншої можливе не для всіх правильних дробів.

Погрішність зазначеного переведення складає молодшого розряду числа в новій системі числення.

Таким чином, для того, щоб перевести правильний дріб з однієї позиційної системи до іншої, необхідно вихідне число послідовно множити на основу нової системи числення, записану в старій системі числення, до одержання заданої точності.

Дріб у новій системі числення запишеться у виді цілих частин добутків, починаючи з першої частини.

Приклад 4. Перевести правильний дріб 0,536 з десяткової системи числення до двійкової та вісімкової систем числення.

При перекладі з десяткової системи числення до двійкової, множимо вихідний дріб на 2.

При перекладі з десяткової системи числення до вісімкової, множимо вихідний дріб на 8.

Зазначені дії представлено в таблиці нижче за текстом.

Ціла частина	Дробова частина	Ціла частина	Дробова частина
0 1 0 0 0 1 0 0 1 0	536 072 144 288 576 152 304 608 216 432	0	536 *8 288 *8 304 *8 432
		4
		2
		2

У підсумку, одержимо наступний результат:

0,536 = 0,100010010 = 0,422 .

При зворотному перекладі з двійкової системи числення до десяткової, множимо вхідне двійкове число на 1010 :

0	10001001
Х
	1010
1	0001001
+
100	01001
101	0101101
Х
	1010
0	101101
+
010	1101
11	100001
X
	1010
1	00001
+
100	001
101	00101

У підсумку, одержимо наступне:

a = 101 = 5 ;

a = 11 = З ;

a =101 =5 .

Тобто 0,10001001 = 0,535 .

Розбіжність у молодшому розряді вирішується усіканням результатів прямого та зворотного перекладів.

Також можна перевести правильний дріб

B =

до нової системи числення, представивши його у виді

.

При вказаному методі, всі дії будуть виконуватися за правилами арифметики нової основи системи числення (b і l представляються по основі p).

У такому випадку, необхідно уважно стежити за помилками, що можуть з'явитися в результаті усікання чи округлення при діленні на l.