МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ХЕРСОНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра інформацiйних технологій
	МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ
	та контрольні завдання до виконання лабораторних робіт
	з дисципліни „Комп’ютерна арифметика”
	для студентів другого курсу
	для напряму підготовки 6.050102 “Комп’ютерна інженерія”
	за професійним спрямуванням “Комп’ютерні системи та мережі”
	галузі знань 0501 “Інформатика та обчислювальна техніка”
	факультету кібернетики та системної інженерії
Частина 2 (лабораторна робота 2)
Херсон – 2016 р.
Методичні рекомендації та контрольні завдання до виконання лабораторних робіт з дисципліни „Комп'ютерна арифметика” для студентів другого курсу напряму підготовки 6.050102 “Комп’ютерна інженерія” (за професійним спрямуванням “Комп’ютерні системи та мережі”) галузі знань 0501 “Інформатика та обчислювальна техніка”. Частина 2 (лабораторна робота 2).
Укладач: Веселовська Г.В., доцент кафедри інформаційних технологій ХНТУ, к.т.н., доцент, кількість сторінок 44.
Рецензент: Гучек П.Й., доцент кафедри інформаційних технологій ХНТУ, к.т.н., доцент.
		Затверджено
		на засіданні кафедри інформаційних технологій ХНТУ,
		протокол № 1 від 31.08.2016 р.
		Завідувач кафедри інформаційних технологій ХНТУ, д.т.н., професор, заслужений діяч науки і техніки України
		____________________ В.Є.Ходаков
Відповідальний за випуск В.Є.Ходаков, завідувач кафедри інформаційних технологій ХНТУ, д.т.н., професор, заслужений діяч науки і техніки України.

Лабораторна робота 2

Тема: Способи перетворення чисел із однієї системи числення до іншої.

Мета роботи: навчитися подавати числа в різних системах числення, визначати властивості систем числення та застосовувати способи перетворення чисел із однієї системи числення до іншої.

Знання та вміння:

- перетворювати цілі числа з однієї позиційної системи числення до іншої, застосовувати схему Горнера;

- перетворювати правильні дроби з однієї системи числення до іншої;

- перетворювати неправильні дроби з однієї системи числення до іншої;

- перетворювати числа з початково заданих систем числення до систем числення з кратною основою;

- працювати з двійковою системою числення;

- працювати з двійковими числами.

1 Основні теоретичні відомості

1.1 Основні методи перетворення чисел із однієї системи числення до іншої

Існують наступні основні методи перетворення чисел із однієї системи числення до іншої:

1. табличний;

2. розрахунково-табличний;

3) розрахунковий.

Табличний метод прямого перетворення чисел із однієї системи числення до іншої має наступні властивості:

- застосовується до будь-яких систем числення;

- оснований на співставленні таблиць відповідностей чисел різних систем числення;

- є громіздким, вимагаючи великих обсягів пам’яті для збереження таблиць.

Таблично-розрахунковий метод перетворення чисел із однієї системи числення до іншої наділено наступними особливостями:

- застосовується тільки до позиційних систем числення;

- використовує таблиці еквівалентів у кожній системі числення тільки для цифр (баз) і позитивних/негативних ступенів основ (базисів) указаних систем;

- задача перекладу чисел із однієї системи числення до іншої зводиться до наступних дій:

а) у вирази поліномів для вихідної системи числення підставляють еквіваленти з нової системи числення для всіх цифр та їх ваг розрядів;

б) роблять дії множення та додавання за правилами арифметики по новій основі р;

в) отриманий результат є зображенням числа в новій системі числення.

Приклад 1. Число A10 = 113 перевести в систему числення з основою р = 2.

Наведемо таблицю еквівалентів:

Десяткове число	Двійкове число
100	0001
101	1010
102	1100100

Тоді: A10 = 113 = 1 * 10² + 1 * 10¹ + 3 * 10⁰ = 0001*1100100 + 0001*1010 + 0011*0001=11100012 .

Розрахунковий метод перетворення чисел із однієї системи числення до іншої застосовується тільки до однорідних позиційних систем числення.

1.2 Перетворення цілих чисел із однієї позиційної системи числення до іншої, схема Горнера

Нехай число А, задане в довільній позиційній системі числення з основою q, необхідно перевести до іншої позиційної системи числення з основою р, тобто перетворити до наступного виду:

, (1)

де аi = 0,1, ..., (р - 1) - база нової системи числення.

Вираз (1) можна записати у наступному вигляді:

A=A1p + a0,

де A1 = ( ) - ціла частина частки від ділення початково заданого числа A на основу нової системи числення p;

a0 - залишок від ділення А на р, що є цифрою молодшого розряду розшукуваного числа, записаного в символах початкової системи числення.

При діленні числа А1 на р, у той самий спосіб одержимо залишок а1 тощо.

У результаті, вираз (1) можна буде записати за схемою Горнера:

. (2)

Очевидно, що праву частину виразу (2) можна послідовно ділити на основу нової системи р до тих пір, поки не виявляться істинними співвідношення A_n< p, A_n+1 = 0.

У результаті серії поділів вихідного числа на основу нової системи числення р можна знайти коефіцієнти:

A = A₁p + a₀;

A₁ =A₂p + a₁;

…

A_n-1 =A_np + a_n-1;

A_n =0* p + a_n.

Правило переводу цілих чисел із однієї позиційної системи числення в іншу позиційну систему числення формулюється в наступний спосіб:

- вихідне число, записане у вихідній системі числення, необхідно послідовно ділити на основу нової системи числення, до одержання частки, що дорівнює нулю;

- число в новій системі числення записується з залишків від ділення, починаючи з останнього.

Приклад 2. Перевести десяткове число 138 у двійкову та вісімкову системи числення.

При переведенні з десяткової системи числення до двійкової системи числення, необхідно послідовно ділити вихідне число 138 на основу 2, у підсумку чого, буде отримано результат 138₁₀ = 10001010₂:

138	69	34	17	8	4	2	1	0	частка
	0	1	0	1	0	0	0	1	залишок

При переведенні з десяткової системи числення до вісімкової системи числення, необхідно послідовно ділити вихідне число 138 на основу 8, у підсумку чого, одержимо результат 138₁₀ = 212₈:

138	17	2	0	частка
	2	1	2	залишок

Можна також виконати зворотний переклад, наприклад, для перевірки правильності результатів, отриманих у прикладі 2.

Наприклад, при зворотному перекладі з двійкової системи числення до десяткової системи числення, отримане у прикладі 2 двійкове число 10001010₂ необхідно ділити на основу нової (десяткової) системи числення 1010₂.

Оскільки виконувати поділ чисел у двійковій системі числення достатньо важко, то на практиці застосовують інший підхід, враховуючи, що для переведення чисел із системи числення з малою основою до системи числення з великою основою зручно користуватися загальним записом чисел у вигляді поліному (1).

Таким чином, у загальному випадку, можна обчислити многочлен

А=а_mq^m + ... + a₁q + a₀.

безпосередньо у вигляді

,

якщо представити a_i та q в системі числення з основою р і виконати всі дії за правилами арифметики основи р.

Наприклад, при перекладі двійкових чисел у десяткову систему числення, на практиці звичайно підраховують суму ступенів основи 2, при яких коефіцієнти a_i дорівнюють одиниці.

Відповідні розрахунки проводяться в десятковій системі числення.

Приклад 3. Перевести число 10001010₂ у десяткову систему числення:

A= 1 * 2⁷ + 1 *2³ + 1 * 2¹ = 128 + 8 + 2 = 138₁₀.