21

Міністерство освіти України

Національний університет «Львівська політехніка»

Кафедра автоматизованих систем управління

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЙМОВІРНІСНИХ АВТОМАТІВ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до лабораторної роботи

з дисципліни "Моделювання систем"

для студентів базового напрямку 6.050101 “Комп’ютерні науки”

Затверджено

на засіданні кафедри АСУ

Протокол № 11-2015/2016

від 21.04.2016 року

Львів 2016

Математичне моделювання ймовірнісних автоматів. Методичні вказівки до лабораторної роботи з дисципліни “Моделювання систем” для студентів базового напрямку 6.050101 “Комп’ютерні науки”/ Укладач: к.т.н., доцент кафедри АСУ Кузьмін О.В. – Львів, Національний університет “Львівська політехніка”, 22 с.

Укладач: Кузьмін Олександр Васильович

Відповідальний за випуск: к.т.н., доцент Шпак З.Я.

Рецензент: д.т.н., професор Цмоць І.Г.

Методичні вказівки затверджено на засіданні кафедри АСУ

Протокол № 11-2015/2016 від 21 квітня 2016 р.

1. Мета. Вивчити процес функціонування дискретного скінченого стохастичного автомата та знайти його ймовірнісні характеристики за даними експерименту.

2. Теоретична частина.

Математичні моделі автоматів вивчаються у розділі теоретичної кібернетики - теорії автоматів. Основним у цій теорії є представлення системи у вигляді автомата, який опрацьовує дискретну інформацію та змінює свої внутрішні стани в допустимі моменти часу. Автомат - це математична модель системи, на вхід якої поступають вхідні сигнали, під дією яких залежно від внутрішнього стану на виході формуються вихідні сигнали, і відбувається перехід в інший внутрішній стан. Скінченим називається автомат, у якого множини внутрішніх ста­нів, вхідних та вихідних сигналів скінченні.

2.1. Скінчені дискретно-детерміновані автомати.

Абстрактний скінчений детермінований автомат можна представити як математичну схему, яка характеризується шістьма елементами: скінченою множиною X вхідних сигналів (вхідний алфавіт), скінченою множиною Y вихідних сигналів (вихідний алфавіт), скінченою множиною Z внутрішніх станів (внутрішній алфавіт), початковим станом z₀, функцією переходів (z,x), функцією виходів (z,x).

Автомат задається:

F(Z, X, Y, , , z₀). (1)

Цей автомат функціонує в дискретному автоматному часі, моментами якого є такти, кожному з яких відповідають постійні значення вхідних, вихідних сигналів і внутрішній стан. Робота скінченого автомата виконується по наступній схемі.

В кожному t такті на вхід автомата, який знаходиться в стані z(t), подається деякий сигнал x(t), на який він реагує переходом в t+1 такті в новий стан z(t+1) з видачею деякого вихідного сигнала. Для F-автомата першого роду, який називається автоматом Мілі, можна записати такі співвідношення:

z(t+1)= [z(t), x(t)], t=0,1,2, ... (2)

y(t)= [z(t), x(t)], t=0,1,2, ... (3)

Скінчений автомат другого роду можна представити:

z(t+1)= [z(t), x(t)], t=0,1,2, ... (4)

y(t)= [z(t), x(t-1)], t=1,2, ... (5)

Якщо y(t)= [z(t)] , то такий автомат другого роду називається автоматом Мура.

По кількості станів розрізняють скінчені автомати з пам’ятю і без пам’яті. Автомати з пам’ятю мають більше одного стану, а автомати без пам'яті (комбінаційні, логічні схеми) мають лише один стан. Робота комбінаційної схеми згідно (6) заключається в тому, що вона ставить у відповідність кожному вхідному сигналу x(t) певний вихідний сигнал y(t), тобто реалізує логічну функцію виду:

y(t)= [x(t)], t=0,1,2, ... (6)

Ця функція називається булевою, якщо алфавіти X та Y складаються з двох літер.

По характеру відліку дискретного часу скінчені автомати поділяються на синхронні і асинхронні.

В синхронних F- автоматах моменти часу, в які автомат зчитує вхідні сигнали, визначаються примусово синхронізуючими сигналами. Після чергового синхронізуючого сигнала з врахуванням зчитаного і у відповідності з рівняннями (2)-(5) відбувається перехід в новий стан і видача сигнала на виході, після чого автомат може сприймати наступне значення вхідного сигналу. Асинхронний F-автомат зчитує вхідний сигнал неперервно і тому, реагуючи на достатньо довгий вхідний сигнал постійної величини x він може, як випливає з рівнянь (2)-(5), декілька разів змінювати свій стан видаючи відповідну кількість вихідних сигналів, поки не перейде в стійкий, який вже не може бути змінений даним вхідним сигналом.

Існує декілька способів задання роботи F- автоматів, але найчастіше використовується табличний, графічний та матричний. Найпростіший - табличний спосіб задання скінченого автомата, який базується на використанні таблиць переходів і виходів, стрічки яких відповідають вхідним сигналам автомата, а стовбці - його станам. При цьому перший зліва стовбець відповідає початковому стану z₀. На перетині i-тої стрічки і k-того стовбця таблиці переходів розміщується відповідне значення функції (z_k,x_i), а в таблиці виходів - функції (z_k,x_i).

Для F- автомата Мура обидві таблиці можна сумістити, отримавши так звану відмічену таблицю переходів, в якій над кожним станом z_k автомата стоїть відповідний цьому стану згідно (5) вихідний сигнал (z_k).

Таблиця переходів та виходів F-автомата Мілі.

Таблиця переходів

Таблиця виходів

Зведена таблиця для F- автомата Мура.

При іншому способі задання скінченого автомата використовується поняття направленого графа. Граф автомата представляє собою набір вершин, які відповідають різним станам автомата і з’єднуючих вершини дуг графа, які відповідають тим чи іншим переходам автомата. Якщо вхідний сигнал х_k викликає перехід із стану z_i в стан z_j, то на графі автомата дуга, яка з’єднує вершину z_i з z_j позначається x_k. Для того, щоби задати функцію виходів дуги графа необхідно відмітити відповідними вихідними сигналами.

Для автоматів Мілі ця розмітка відбувається наступним чином. Якщо вхідний сигнал х_k діє на стан z_i, то, згідно сказаному вище, отримується дуга, яка виходить з z_i і помічається х_k. Цю дугу додатково відмічають вихідним сигналом y= (z_i,x_k).

Для автомата Мура ця розмітка така. Якщо вхідний сигнал х_k, який діє на деякий стан автомата, викликає перехід в стан z_j, то дугу, яка направлена в z_j і помічену х_k додатково відмічають вихідним сигналом y= (z_j,x_k).

При рішенні задач моделювання систем часто зручнішою формою є матричне задання. При цьому матриця , стрічки якої відповідають біжучим станам, а стовбці - станам переходу, містить елементи c_i,j=x_k/y_s, де x_k - вхідний сигнал, y_s - вихідний сигнал.

Якщо перехід із стану z_i в стан z_j відбувається під впливом декількох сигналів, елемент матриці c_i,j представляє собою множину пар вхід-вихід для цього переходу, які з’єднані знаком диз’юнкції “V”. Для F- автомата Мура елемент c_i,j дорівнює множині вхідних сигналів на переході z_i – z_j, а вихід описується вектором виходів:

i-та компонента якого - вихідний сигнал, який відповідає стану z_i.

Для детермінованих автоматів виконується умова однозначності переходів, тобто автомат, який знаходиться в деякому стані, під дією будь-якого вхідного сигналу не може перейти в більш ніж в один стан. Стосовно до графічного опису F- автомата, це означає, що на графі автомата з будь-якої вершини не можуть виходити два і більше ребра, помічених одним і тим самим вхідним сигналом

2.2. Скінчені диcкретно-стохаcтичні автомати.

Ймовірнісний автомат можна визначити як дискретний потактовий перетворювач інформації з пам’ятю, функціонування якого в кожному такті залежить тільки від стану пам’яті і може бути описане статистично. Введемо визначення Р-автомата, використовуючи поняття F-автомата.

Розглянемо множину G, яка представляє собою елементи (z_k,x_i), де z_k – стан, z_k Є Z; x_i – вхідний сигнал, x_i Є X.

Якщо існують функції (z_k,x_i) і (z_k,x_i), які відображають множину G відповідно на множини Z і Y (G→Z і G→Y), то говорять, що заданий F-автомат F<Z, X, Y, , >.

В більш загальному виді математичну схему Р-автомата можна представити наступним чином.

Нехай крім множини G задана множина Ф(z_k,y_j). Тоді якщо існує відображення множини G на множину Ф у вигляді закону розподілу для кожного елемента (z_k,x_i), то говорять, що заданий ймовірнісний Р-автомат.

Цей закон розподілу можна представити у вигляді таблиці:

j - кількість вихідних сигналів.

Кількість таких розподілів дорівнює кількості елементів множини G. Тому ймовірнісний автомат P можна представити як P<Z, X, Y, B>. В- сукупність розподілів.

Нехай елементи множини G визначають деякі закони розподілу на підмножини Y, Z.

умови нормування.

Якщо для всіх значень l і q виконується умова l_kq_j=b_kj, то такий ймовірнісний автомат називається ймовірнісним автоматом Мілі. Ця вимога означає виконання умови незалежності розподілів для нового стану Р-автомата і його вихідного сигналу.

Нехай тепер значення вихідного сигналу Р-автомата залежить тільки від стану, в якому знаходиться автомат в даний момент часу.

Якщо для будь-якого k і j виконується l_ks_j=b_kj, то такий ймовірнісний автомат називається автоматом Мура.

Якщо вихідний сигнал P-автомата визначається детерміновано, то такий автомат називається Y- детермінованим P- автоматом.

Z- детермінованим ймовірнісним автоматом називається Р- автомат, у якого вибір нового стану є детермінованим.

Розглянемо Y-детермінований Р-автомат, який задається таблицею переходів Р і таблицею виходів.

Z	z1 z2 … zk
Y	yi1 yi2 … yik

,

D - початкові умови.

Будемо вважати, що до початку роботи Р-автомат завжди знаходиться в стані z₀ і в нульовий такт часу міняє стан у відповідності з розподілом D. Інформацію про початковий стан зручно внести в матрицю Р змінивши її розмірність до (k+1)×(k+1). Перша стрічка, яка буде співставлятися з z₀ буде мати вигляд: 0, d₁, d₂, ... , d_k, а перший стовбець буде нульовим. Описаний Y-детермінований Р-автомат можна задавати у вигляді орієнтованого графа, вершини якого співставляються станам автомата, а дуги - можливим переходам з одного стану в другий. Дуги мають вагу, яка відповідає ймовірності переходу p_ij. Біля вершин графа записуються значення вихідних сигналів, які викликаються цими станами. Задання Y-детермінованого Р-автомата еквівалентне заданню деякого дискретного марківського ланцюга із скінченою множиною станів. Тому апарат марківських ланцюгів є основним для використання Р-схем для аналітичних розрахунків.

Розглянемо приклад Y- детермінованого P – автомата (рис.1).

Рис.1. Граф Y- детермінованого P – автомата.

Вимагається оцінити суму фінальних ймовірностей перебування автомата в станах z₂ і z₃, в яких на виході автомата видається одиничний вихідний сигнал.

Оскільки фінальні ймовірності не залежать від стану z₀, то ймовірність знаходження в станах z₁, z₂, z₃, z₄ можна знайти з матричного рівняння:

де c=(c₁, c₂, c₃, c₄)

c₁=c₄

c₂=0.75c₂ + 0.4c₃

c₃=c₁

c₄=0.25c₂ + 0.6c₃

c₁+c₂+c₃+c₄=1 - умова нормування.

c₂=8/23, c₃=5/23, c₂+c₃=13/23.

Для оцінки різних характеристик досліджуваних систем, які представляються у вигляді Р - схем, крім аналітичних моделей можна застосувати і імітаційні моделі.