Стохастичне програмування

За допомогою методів стохастичного програмування вирішуються задачі умовної оптимізації при неповній інформації про параметри умов задачі, які (всі або деякі) можуть виявитися невизначеними або випадковими. В одному випадку можливо встановити ті чи інші імовірнісні характеристики параметрів умов задачі, в іншому – ні. У першому випадку описується ситуація, пов'язана з ризиком, у другому – ситуація, пов'язана з невизначеністю. В окремих задачах стохастичного програмування замінюють випадкові параметри їх середніми значеннями і вирішують детерміновану задачу. Існують постановки задач, в яких обмеження повинні задовольнятися при всіх реалізаціях випадкових параметрів, які називаються жорсткими постановками. Іноді в задачах необхідно, щоб забезпечувалася вірогідність попадання рішення в допустиму область не нижче заданої, такі задачі називаються задачами з ймовірними обмеженнями. Цільовою функцією цих моделей є зазвичай математичне очікування реалізацій показника якості рішення задачі оптимізації або ймовірність перевищення випадковим значенням показника якості деякого фіксованого порога.

Динамічне програмування

У динамічному програмуванні досліджуються задачі оптимізації дискретних багатостадійних (багатокрокових) процесів, в яких критерій оптимальності задається у вигляді адитивної або мультиплікативної функцій критеріїв оптимальності окремих стадій. Відповідно до принципу оптимальності Беллмана, кожній точці оптимальної стратегії притаманна властивість. Відрізок траєкторії, що починається з цієї точки, теж оптимальний. Іншими словами, оптимальна поведінка має ту властивість, що якою б не була початкова поведінка процесу, наступні рішення повинні бути оптимальними щодо вже реалізованого стану. Застосування цього принципу дозволяє вивести функціональні рівняння Беллмана, що лежать в основі алгоритмів розв'язання задач динамічного програмування. По суті цей метод дає можливість послідовно визначати оптимальні стратегії управління на всіх стадіях процесу, починаючи з останньої. При цьому управління на кожній стадії знаходять, вирішуючи за допомогою методів нелінійного програмування окремі задачі оптимізації, значно менш складні, ніж вихідна задача оптимізації. Завдяки цьому досягається серйозний виграш у часі вирішення задачі. Обмеження на змінні враховуються при вирішенні окремих задач оптимізації, причому обмеження типу рівностей дозволяють зменшувати розмірність цих задач за допомогою методу множників Лагранжа.

Багатокритеріальна оптимізація

Багатокритеріальні (векторні) задачі виникають, коли необхідно одночасне виконання кількох критеріїв, часто суперечливих. На перший погляд, можливість оцінки того чи іншого рішення за кількома різними критеріями здається протиприродною. Однак, оскільки задачі такого роду виникають, то потрібно знайти розумний компроміс між кількома критеріями. Оскільки тут має місце екстремальна задача, в якій цільова функція є вектором, то змінюється саме поняття оптимальності рішення. Принцип оптимальності по Парето представляється найбільш природним у тому сенсі, що відповідає інтуїтивним уявленням щодо найкращих значень цих функцій. Головним стає досягнення певної області компромісу (множина Парето), що складається з ефективних, оптимальних за Парето точок. При цьому часто множина ефективних точок виявляється дуже великою, що ускладнює вибір конкретного рішення, і це вимагає введення деяких "вторинних" принципів оптимальності. У багатьох випадках, коли критерії співмірні, векторна задача зводиться до задачі зі скалярним критерієм, тобто проводиться згортка функцій (зважена сума, мінімальна компонента). При неспівмірності критеріїв відповідний принцип оптимальності може бути вироблений аксіоматично. Перш ніж шукати екстремум векторної функції, зазвичай задають відношення порядку, тобто правило порівняння двох векторів, завдяки чому можна зробити висновок про те, який з векторів є найкращим.

19

Лекція №1 Оптимізація та прийняття рішень