Квадратичне програмування

Розглядаються методи вирішення задач мінімізації опуклих квадратичних функцій на множинах, що задаються системами лінійних нерівностей і рівностей. Розроблено закінчену теорію і числові методи вирішення задач, в тому числі типу симплексного методу, що призводять до вирішення за скінченне число кроків (ітерацій). Ці задачі часто виникають як допоміжні при вирішенні різних задач математичного програмування.

Дискретне програмування

Дискретне програмування займається дослідженням вирішення задач оптимізації на скінченних множинах і, зокрема рішення цілочислових задач. Розглядаються задачі, які називають нетривіальними, в яких виділяють додаткові умови: число елементів на розглянутих скінченних множинах дуже велике, настільки, щоб не можна було вирішити задачу вручну шляхом перебору і порівняння значень цільової функції або на ЕОМ; задача не є регулярною. Універсальних ефективних методів вирішення задач дискретного програмування не створено головним чином через труднощі їх вирішення, обумовлених великим числом локальних екстремумів. Існують досить відомі методи – метод гілок і меж і його різні модифікації, які є методами спрямованого перебору. Їх ефективно застосовують для вирішення спеціалізованих задач, проте серед них можна підібрати такі задачі, для яких згадані методи спрямованого перебору незначно відрізняються від повного перебору. Іншим джерелом труднощів вирішення задач дискретного програмування є те, що допустима множина часто задається в неявній формі. Наприклад, у цілочисловому лінійному програмуванні його визначають у вигляді цілочислових рішень системи лінійних нерівностей. Таке і складніше задання множин допустимих рішень робить нетривіальною не тільки саму задачу перерахування елементів множини, а й вказівки навіть одного елемента. Основні результати дискретного програмування отримані для більш вузьких класів задач – транспортної задачі, задачі про комівояжера і кількох комівояжерах, лінійного цілочислового програмування, задачі про розклади, екстремальні задачі на графах та ін. У даний час розвиваються наближені методи для вирішення практичних задач великої розмірності, які принципово мало відрізняються від методів пошуку екстремумів безперервних функцій і функціоналів, алгоритмів локальної оптимізації, випадкового пошуку.

Геометричне програмування

За допомогою методів геометричного програмування вирішується один спеціальний клас задач математичного програмування, в яких цільові функції і обмеження задають у вигляді позитивних поліномів, тобто сум добутків степеневих функцій від незалежних змінних. Подібні задачі часто зустрічаються при проектуванні. В окремих випадках ряд задач нелінійного програмування за допомогою апроксимації цільових функцій і обмежень доцільно звести до задачі геометричного програмування. В основі алгоритму розв'язання задачі геометричного програмування лежить відома нерівність між середньоарифметичним і середньогеометричним. Саме воно дало назву цим методам і саме завдяки йому будується двоїста функція і формулюється двоїста задача, вирішення якої в багатьох випадках набагато простіше, ніж рішення вихідної задачі. Між рішенням прямої і двоїстої задач існує певний взаємозв'язок.