1. Деление с остатком

Для многочленов (5) с коэффициентами и переменной х из одного из упомянутых ранее множеств (Q, R или С) справедливо следующее утверждение.

Теорема. Для любых многочленов Р_п(х) uQ_m(x), причем Q_m(x) ≠ 0 (т.е. для любого х многочлен Q_m(x) не равен нулю), существует единственная пара многочленов S_k(x) и R_l(х) таких, что

P_n(x) = Q_m(x)S_k(x) + R_l(x) , (6)

cтепень l многочлена R_l(x) меньше степени m многочлена Q_m(x) или сам многочлен R_l(x) ≡ 0.

Нахождение указанных в теореме многочленов S_k(x) и R_l(x) называется делением с остатком многочлена Р_n(х) на многочлен Q_m(x); при этом S_k(x) называется частным, a R_m(x) — остатком от деления Р_n(х) на Q_m(x). В случае R_l(x) ≡ 0 говорят, что многочлен Р_n(х) делится на Q_m(x) без остатка или нацело.

Рассмотрим некоторые частные случаи:

• если Q₀(x) = b₀ ≠ 0 — многочлен нулевой степени, то любой многочлен делится на него без остатка;

• если степень n многочлена Р_n(х) меньше степени m многочлена Q_m(x), то при делении Р_n(х) на Q_m(x) остатком будет сам многочлен Р_n(х), а частным — S_k(x) ≡ 0.

Частное и остаток обычно ищут с помощью деления "уголком".

Пример. Р₅ (х) = 4x⁵ – 2x³ + 3x² + 1, Q₃(x) = 2х³ - х + 1.

4x5-2x3+3x2+1	2x3-x+1
4x5-2x3+2x2	2x2
x2+1

Итак, S₂(x)= 2x², R₂(x)= x²+1 и Р₅ (х)= Q₃(x)∙ 2x³-x+1 или

В случае деления на многочлен первой степени с коэффициентом при старшем члене, равным единице, справедливо утверждение.

Теорема Безу. Остаток от, деления произвольного многочлена Р_п(х) на многочлен Q_l(x)=x-b равен значению многочлена Р_п(х) при x=b, т. е.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Благодаря теореме о делении с остатком, частное от деления Р_n(х) на Q_l(x) = х - b является многочленом степени n - 1, а остаток – многочлен нулевой степени т. е. число R₀(х )=r. И для любого x равенство принимает вид

P_n(x)=(x-b)S_n-1(x)+r

Полагая x = b, получаем Р_n(b) = r. Теорема доказана.

B. Разложение многочлена на множители

Число x₁ называется корнем многочлена Р_n(х), если Р_n(x)=0.

Используя теорему Безу, докажем утверждение.

Теорема. Число х₁ является корнем, многочлена Р_n(х) тогда и только тогда, когда многочлен делится без остатка на х – x₁.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость ( ). Дано, что х₁ - корень Р_n(x), т.е. P_n(х₁) = 0. Но по теореме Безу P_n(x₁) — это остаток от деления мно­гочлена на х – x₁ Значит, P_n(x) делится на x - x₁.

Достаточность ( ). Многочлен делится без остатка на x — х1. Надо доказать, что х1 — корень многочлена. Имеем

Р_n(х) = (x – x₁)S_{n -1}(x).

Подставляя х₁ вместо x, получаем Рn(x1) = 0. Теорема доказана.

Если многочлен Р_n(x) делится нацело на (x - х₁)^k, но не делится на (x – x₁)^k+1, то число x₁ называется корнем кратности k или k-кратным корнем многочлена Р_n(х). При k = 1 корни многочлена называются простыми.

Основная теорема алгебры комплексных чисел. Всякий многочлен P_n(x) степени n ≥ 1 с любыми числовыми коэффициентами имеет, хотя бы один корень из множества комплексных чисел С.

В частности, если рассматривать многочлен степени n ≥ 1 с действительними коэффициентами, то он имеет хотя бы один корень из множества комплексных чисел С, но это может быть и действительное число.

Но, если корень является комплексным числом, то используя свойства комплексных чисел, доказывается справедливость утверждения.

Теорема. Если комплексное число α + βί является корнем многочлена P_n(x) степени n ≥ 2 с действительными коэффициентами, то и сопряжённое число α - βί является его корнем.

Следствиями основной теоремы являются следующие утверждения. Теорема. Любой многочлен Р_n(x) степени n ≥ 1 с любыми числовыми коэффициентами может быть единственным образом представлен в виде произведения коэффициента главного члена и n линейных множителей.

Р_n(х) =a_n (x – x₁)(x – x₂)...(x –x_n),

где x₁, x₂, …., x_n C

С учетом кратностей k₁, k₂, …, k_l (k₁ + k₂ +…+ k_l =n) корней x₁, x₂, …, x_l C получаем разложение многочлена на линейные множители:

Р_n(х) =a_n (x – x₁)^k₁ (x – x₂)^k₁...(x –x_l)^k_l.

Теорема. Любой многочлен P_n(x) степени n ≥ 1 с действительными коэффициентами может быть единственным образом представлен в виде произведения коэффициента а_п, нескольких линейных множителей x – х_i квадратных трехчленов x² +p_ix +q_о ( ) с учетом их кратности:

Р_n(х) =a_n (x – x₁)^k₁... (x – x_e)^k_e(x² +p₁x +q₁ …(x²+p_mx+q_m) , где x₁, x₂, …., x_e R.