Контрольное задание Вариант 1

1. На 6 карточках было записано слово «победа». Их рассыпали и взяли снова только 4 карточки. Какова вероятность того, что получиться слово «обед»?

2. В лотерее из 100 билетов имеются 5 выигрышей по 3 руб., 10 выигрышей по 2 руб. и 55 выигрышей по 1 руб. Какова вероятность на один купленный билет выиграть не менее 2 рублей?

Вариант 2

1. Собрание сочинений из четырёх томов нужно поставить на полку по порядку. Вычислите вероятность того, что нужный порядок будет достигнут.

2. Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей получиться грань с цифрой, кратной трём?

Ответы:

Вариант 1. 1. 1/360. 2. 0,15.

Вариант 2. 1. 1/24. 2. 2/3.

Краткие теоретические сведения Содержание:

1. Введение в курс математики. Многочлены.

2. Элементы линейной алгебры.

3. Дифференциальное исчисление одной и многих переменных.

4. Неопределённый и определённый интегралы.

5. Дифференциальные уравнения.

6. Элементы комбинаторики, теории вероятностей.

I. Введение в курс математики

1.Многочлены.

Многочлен первой степени относительно переменной x − это выражение вида

a₁x + a₀, a₁, a₀ −числа, a₁≠0;

многочлен второй степени от переменной x −

a₂x² + a₁x + a₀, _a2, a₁, a₀ − числа, a₂≠0;

многочлен степени n от переменной x −

a_nxⁿ +a_n-1x^n-1 +…+ a₁x + a₀ ,

Под многочленом нулевой степени будем понимать число, не равное.

Числа а_к, , называются коэффициентами многочлена, наибольший показатель степени (n) — степенью многочлена. Каждое слагаемое многочлена — это одночлен, a_nxⁿ — старший член многочлена, а0 — свободный член многочлена.

Будем считать, что у рассматриваемых в дальнейшем многочленов все коэффициенты и переменная х принадлежат только одному из множеств: или Q, или R, или С.

Многочлен n-й степени от переменной х будем обозначать P_n(x), Q_n(x) и т.д.

Многочлены одной степени и равны, если у них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях x, т.е., если

a_n = b_n, a_n-1 =b_n-1, …, a₁ = b₁, a₀ = b_0.

Рассмотрим два многочлена:

и (5)

Сумма многочленов Рn(х) и Qm(x) (для определенности предполагаем n ≥ m) — это многочлен, коэффициенты которого при конкретной степе­ни переменной х являются суммой коэффициентов многочленов-слагаемых при той же степени х. Если n > m, то степень суммы будет равна n. В случае, когда n = m степень суммы ≤ n.

При сложении многочленов удобно их записывать в виде "таблицы", столбцы которой содержат одночлены с одинаковыми степенями.

Пример. P₄(x)= -x⁴ + 3x² + x – 2, Q₄(x) = x⁴ + 2x³ – x + 2

P4(x)	-x4		+3x2	+x	-2
Q4(x)	x4	+2x3		-x	+2
P4(x)+Q4(x)		+2x3	+3x2

Итак, P₄(x) +Q₄(x) = 2x³ +3x², т.е. получили многочлен степени ниже: степеней многочленов-слагаемых.

Аналогично определяется разность многочленов.

Пример. P₄(x)= x⁴ - x² - x – 2, Q₄(x) = x⁴ + 2x³ – x + 2

Q4(x)	x4	+2x3		-x	+2
P4(x)	x4		-x2	-x	-2
Q4(x)- P4(x)		+2x3	+x2		+4

Таким образом, Q₄(x)- P₄(x)= 2x³+ x² +4.

Произведение многочленов (5) — это многочлен степени n + m, кото­рый получается, во-первых, после умножения каждого члена многочлена Р_n(х) на каждый член многочлена Q_m(x), во-вторых, после сложения по­лученных произведений.

При умножении многочленов удобно выписывать многочлены-произве­дения каждого члена первого многочлена-сомножителя на каждый член второго сомножителя, и эти многочлены-произведения записывать в виде "таблицы", столбцы которой содержат одночлены с одинаковыми степеня­ми.

Пример. Р₂(х) = х² - х - 1, Q₃(x) = 2 - х + 2.

Р2(х)		Q3(x)	=2x3- х	+ 2
х2	+2x5		-x3	+2x2
- х		-2x4		+х2	-2x
- 1			-2x3		+x	-2
Р2(х) Q3(x)	+2x5	-2x4	-3x3	+3х2	-x	-2

Итак, Р₂(х) Q₃(x)= 2x⁵-2x⁴-3x³+3х²-x-2.

Кроме этого полезно знать следующие формулы:

(х ± а)² = х² ± 2ах + а²; (х + а)(х + b) = х² + (а + b)х + ab; (х — а)(х + а) = х² − а²;

(х ± а)³ = х³ ± 3ах² + 3а²x ± a³; (х ± а)(х² ± bх + b²) = х³ ± b³;

(x ± a)ⁿ = ;

(x – a)(x^n-1 +ax^n-2 +… +a^n-2x + a^n-1)= (x – a) ,

(x – a)(x^2k-1 –ax^2k-2 + … + a^2k-2x – a^2k-1)=(x – a) ,

(x + a)(x^2k – ax^2k-1 + … - a^2k-1x + a^2k) = (x –a) .

Для введенных операций сложения и умножения многочленов имеют место такие же свойства, как и для чисел

1. P_n(x) + Q_m(x)= Q_m(x)+P_n(x) (переместительное свойство сложения или свойство коммутативности сложения).

2. P_n(x)Q_m(x)= Q_m(x)P_n(x) (переместительное свойство умножения или свойство коммутативности умножения).

3. (P_n(x)+Q_m(x))+T_l(x)=P_n(x)+(Q_m(x)+ T_l(x)) (сочетательное свойство сложения или свойство ассоциативности сложения).

4. (P_n(x)Q_m(x))T_l(x)=P_n(x)(Q_m(x) T_l(x)) (сочетательное свойство умножения или свойство ассоциативности умножения).

5. P_n(x)(Q_m(x)+ T_l(x)= P_n(x)Q_m(x)+ P_n(x) T_l(x) (распределительное свойство умножения относительно сложения или свойство дистрибутивности).