Решение типового варианта домашней контрольной работы
Задание 1. Предприятие производит продукцию трёх видов. При этом используется сырьё трёх типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида, себестоимость каждого вида сырья и стоимость его доставки приведены в таблице:
Тип сырья |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
Вид изделия |
|
|
|
1 |
4 |
3 |
2 |
2 |
5 |
1 |
1 |
3 |
0 |
3 |
2 |
Себестоимость |
4 |
4 |
5 |
единицы сырья |
|
|
|
Стоимость доставки |
2 |
1 |
1 |
единицы сырья |
|
|
|
Каковы общие затраты предприятия на производство 50 усл. ед. продукции первого вида, 100 усл. ед. второго вида и 200 усл. ед. третьего вида?
Решите задачу с помощью матриц.
Решение.
Нормы расходов сырья на единицу продукции запишем в виде матрицы А:
А=
у которой элементы аik показывают количество сырья k- ого типа на изготовление единицы изделия i- го вида.
Пусть матрица С показывает цену единицы сырья и доставки единицы сырья:
С=
Объём производства
продукции задаётся матрицей столбцом
Q=
Чтобы определить общие затраты S на производство продукции объёма Q, надо знать затраты Р на сырьё для производства единицы продукции каждого вида и его доставку. Для этого умножим матрицу расходов А на матрицу Ст, полученную из матрицы С транспортированием.
Получаем:
Тогда суммарные затраты S=QT∙P:
S=QT∙P=
Следовательно, общие затраты (это стоимость и его сырья и его доставки) для осуществления данного объёма производства составляет 9200 + 2850 = 12050 денежных единиц.
Ответ: 12050 д.ед.
Задание 2.
Проверьте невырожденность системы линейных уравнений и решите её методами Крамера и Гаусса;
Решение:
Приводим расширенную матрицу системы уравнений к трапециевидной форме:
Исходная расширенная матрица системы
уравнений имеет вид:
Первое уравнение умножаем на 20
Второе уравнение умножаем на 15
Третье уравнение умножаем на 12
От второго уравнения отнимаем первое,
от третьего уравнения отнимаем первое
Первое уравнение делим на 20
Второе уравнение делим на 5
Третье уравнение делим на 4
Второе уравнение умножаем на 19
Третье уравнение умножаем на 5
от третьего уравнения отнимаем второе
Второе уравнение делим на 19
Третье уравнение делим на 96
Все выполненные действия являются элементарными матричными преобразованиями, поэтому исходная система линейных уравнений равносильна следующей:
Заметим, что ранг основной матрицы системы уравнений равен рангу расширенной матрицы:
rang A = rang A =3,
следовательно, согласно теореме Кронекера-Капелли, система уравнений невырожденна, решение данной системы уравнений существует и единственно.
Методом «обратного хода» Гаусса находим:
корень х3 из третьего уравнения полученной системы:
корень x1 из первого уравнения полученной системы:
Получили решение системы: (x1 ,х2, х3) = (1,2,3)
Решаем систему методом Крамера:
где
(i
= 1;2;3) −
определитель
полученный из
определителя системы уравнений, заменой ί-го столбца столбцом свободных
членов. Вычислим определитель ∆ системы уравнений:
=
9 – 20 + 60 + 25 – 24 – 18 = 32, т.к. ∆≠0, то система
имеет единственное решение.
Найдём ∆1,∆2,∆3:
=
42 – 8 + 120 + 10 – 48 – 84 = 32.
=
-72 + 140 + 40 – 200 + 168 – 12 = 64.
=
-6 – 80 +168 + 70 +16 – 72 = 96.
Тогда
;
;
.
Ответ: (1,2,3).
Задание 3. Используя производную, найдите промежутки монотонности, локальный экстремум, выпуклость, вогнутость, точки перегиба для функции
Решение:
Промежутки возрастания и убывания f функции называются промежутками монотонности этой функции. Если f'(х) > 0 на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.
Если f′(x) < 0 на промежутке, то функция f′(x) убывает на этом промежутке.
О
тсюда
следует, что при x
и x
f′(x)
< 0, значит функция убывает на этих
промежутках. При
f
′(х)
> 0
и
функция возрастает на этом промежутке.
- точка локального экстремума. Xmax= ; ymax=
Функция f ( х ) называется выпуклой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой у = f (х) в любой точке.
Функция f ( х ) называется вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой у = f ( х ) в любой точке.
Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции у = f(x) отрицательная, т.е. f "(х) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f ″ (х) > 0 – вогнутый.
Н
а
интервале график функции выпуклый;
на интервалах и
- график функции вогнутый; на интервале - график выпуклый.
- точки перегиба.
Задание 4. Вычислите определённый интеграл
а)
б)
Решение:
а)
б)
Ответ:
а)
б)
Задание 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение:
Находим x1;х2 как абсциссы точек пересечения графиков функций, т.е. решаем уравнение
a=0; b=4.
Ответ: 8.
Задание 6. Найти частные решения уравнения
ху' + у = 3, если у=0 при х=1
Решение:
Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
В полученном общем решении однородного уравнения полагаем С функцией от х, то есть решение неоднородного исходного уравнения ищем в виде
Подставляя начальные условия у=0 при х=1
С(х) = 3х-ху = 3;
Подставляя в исходное уравнение приходим к уравнению
Ответ:
Задание 7.
а) Сколькими способами можно рассадить 12 гостей по двенадцати местам за праздничный стол
Размещение из n элементов по n называется перестановкой из n элементов. Количество перестановок обозначается Pn. Pn=n!
Количество способов можно определить как факториал числа 12.
12!= 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-И-12 = 479001600
Отсюда следуют, что двенадцать гостей можно рассадить по двенадцати местам 479 001 600 способами.
М, И, Н, С, Б, К, Н.
Решение:
Пусть А - событие, состоящее в том, что среди пяти наугад взятых карточек можно прочесть слово «Минск».
Из классического определения вероятности находим условные вероятности:
-
вероятность того, что 1-й вынута карта
с буквой «М»;
-
вероятность того, что 2-й вынута карта
с буквой «И»;
-
вероятность того, что 3-й вынута карта
с буквой «Н»;
-вероятность того, что 4-й вынута карта с буквой «С»;
-
вероятность того, что 5-й вынута карта
с буквой «К».
И
меем
пять попарно независимых событий. По
формуле произведения вероятностей для
независимых событий получаем:
P(A)=
О
твет: