Производная и ее применение.
1. Какие величины называются постоянными и переменными?
2. Что называется интервалом и отрезком? Какие виды промежутков вы еще знаете?
3. Дайте определение функции и приведите примеры функциональной зависимости.
4. Как определить частное значение функции? Проверьте, правильно ли вычислено f(2)=5, если f(х)=х3 - х + 1 ?
5. Что называется областью определения
функции? Проверьте правильность
найденной-области определения [5; ∞) для
функции у=
и (-1,5;∞) для функции у= lg(2x+3).
6. Какие существуют способы задания функции? Перечислите преимущества и недостатки каждого.
7. Дайте определения возрастающей и убывающей функции. Приведите примеры.
8. Какая функция называется сложной? Приведите примеры.
9. Перечислите виды основных элементарных функций, запишите их математические выражения, изобразите их графически.
1
0.
Дайте определение предела переменной
величины. Перечислите свойства пределов.
11. Как прочитать запись f (x)=b? Дайте определение предела функции в точке.
12.Что называется приращением независимой переменной и приращением функции? Найдите приращение аргумента х и приращение функции у = х3 при изменения аргумента от 1 до 2.
13. Дайте определение непрерывной функции. Какими свойствами на отрезке она
обладает? Определите интегралы
непрерывности функции f(х)=
.
14. Дайте определение предела функции на бесконечности. Объясните основной метод
раскрытия неопределенности
на примере вычисления предела
15. Сформулируйте и запишите первый и второй замечательные пределы.
16. Как найти мгновенную скорость прямолинейного непрерывного движения?
17. Как вычислить угловой коэффициент касательной и кривой в данной точке?
18. Что характеризует скорость изменения функции относительно изменения аргумента? Дайте определение производной.
19. Какая функция называется дифференцируемой в точке и на отрезке? Сформулируйте зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
20. Из каких операций складывается общее правило нахождение производной данной функции? Как вычислить частное значение производной?
21. Можно ли вычислить производную любой функции, пользуясь определением производной?
22. Выпишите в таблицу основные правила и формулы дифференцирования функций.
23. Повторите определение сложной функции. Как найти ее производную?
24. Каков геометрический смысл производной? Как геометрически определить значение производной в точке?
25. В чем заключается механический смысл производной?
26. Что называется производной второго порядка и каков ее механический смысл?
27. Что называется дифференциалом функции, чему он равен, как обозначается и каков его геометрический смысл?
28. Чем можно оправдать, что при малых значениях ∆х приращение функции приближенно равно ее дифференциалу? Что выражает геометрически формула ∆y ≈ dy
29. Повторите определения возрастающей и убывающей функции. Каковы знаки приращений аргумента в функции в интервалах возрастания и убывания ? В чем заключается признак возрастания убывания функции?
30. В чем заключается необходимый и достаточный признаки существования экстремума? Перечислите порядок операций для отыскания максимума и минимума функции с помощью первой производной.
31. Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной? Почему в точке максимума вторая производная отрицательна, а в точке минимума - положительна?,
32. В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значения?
33. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке? Найдите эти значения для функции у = х3 - 3х2 +1 на отрезке [-1;4].
34. Как определяются геометрически и по знаку второй производной выпуклость и погнутость кривой?
35. Что называется точкой перегиба и каковы необходимый и достаточный признаки ее существования? Сформулируйте правило нахождения точки перегиба.
36. Дайте определение функции двух переменных; многих переменных. Приведите примеры.
37. Как найти значение функции Z=f(x; y) в точке P(a; b)?
38. Что является графиком функции двух переменных?
39. Дайте определения частных производных первого и второго порядков функции двух переменных Z=f(x; y).
40. Дайте определения полного дифференциала первого и второго порядков функции двух переменных Z=f(x; y).
41. Сформулируйте необходимое условие экстремума функции Z=f(x; y ) в точке P0 .
42. Сформулируйте достаточное условие экстремума функции двух переменных.
Ответы:
4. Нет, так как f(2) = 23 - 2 + 1 = 7. 5. Правильно. 12. ∆х =1, ∆у= 7. 13. (-∞;-2)U(-2;∞). 14. 2.
29. cos60°20'≈0,495. 34. унаиб =17при х=4,
унаиб =-3 при x = -1 и x=2.