Вопросы и упражнения для самопроверки:

1. Какое действие называется интегрированием?

2. Какая функция называется первообразной для функция f(x).

3. Дайте определение неопределенного интеграла

4. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла

5. Каким действием можно проверить интегрирование?

6. Напишите основные формулы интегрирования табличные интегралы.

7. Найдите интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

Ответы:

a) l/3x³-x² +3 +С; б) 2/3х√х +C; в) ; г) ; д) 1/3 ln³x + C;

е) ;ж) ; з) -2/3ctg3x+C.

V. Определенный интеграл

1. Понятие определенного интеграла.

Пусть функция f(x) определена на отрезке a ≤x ≤b. Допустим для простоты, что функция f(x) в указанном промежутке неотрицательная и а<b. Разобьем этот отрезок на n частей точками a=X₀‹X‹X₁‹…X_n=b. На каждом из частичных отрезков x_i-1≤x≤x_i (i=1,2,3…,n) возьмем произвольную точку с; и составим сумму:

где ∆x_i=x_i-x_i-1. Эта сумма носит название интегральной суммы функции f(х) на отрезке а ≤х≤b.

Геометрически (рис. 52) каждое слагаемое интегральной суммы равно площади пря­моугольника с основанием ∆x_i, и высотой f(c_i), а вся сумма равна площади “ступенчатой фигуры” получающейся объединением всех указанных выше прямоугольников.

рис. 52

Очевидно, что при всевозможных разбиениях отрезка а ≤ х ≤ b на части получим различные интегральные суммы, а следовательно, и различные «ступенчатые фигуры».

Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы длина наибольшего из отрезков

xi-1≤x≤xi стремилась к нулю. Во многих случаях при таком разбиении интегральная сумма будет стремиться к некоторому конечному пределу, не зависящему ни от способа, каким выбираются точки деления xi ни от того, как выбираются промежуточные точки Сi.

Этот предел и называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке а ≤ х ≤ b.

Определенным интегралом от функции f(х) на отрезке а ≤ х ≤ b называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего

частичного интервала. Он обозначается символом и читается «интеграл от а до b от

функции f(x) по dx» или, короче, «интеграл от а до b от f(x)dx». По определению;

Число а называется нижним пределам интегрирования, число b - верхним; отрезок

а ≤ х ≤ b отрезком интегрирования.

Заметим, что всякая непрерывная на отрезке а ≤ х ≤ b функция f(x) интегрируема на этом отрезке.

Если интегрируемая на отрезке а ≤ х ≤ f функция f(x) неотрицательна, то определенный

интеграл численно равен площади криволинейной трапеции аАВb, ограниченной

функции графиком у=f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b (рис. 52), т. е. . В

этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

2. Основные свойства определенного интеграла.

Все свойства сформулированы в предположении, что рассматриваемые функции интегрируемы в соответствующих про­межутках.

1. Определенный интеграл, с одинаковыми пределами равен нулю:

;

2. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

;

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

, где а ≤ х ≤ b;

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

;

5. Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых;

.