2. Основные формулы интегрирования (табличные интегралы).

Из каждой формулы дифференцирования вытекает соответствующая ей формула интег-рирования. Например, из того, что , следует равенство

Ниже приведена таблица основных интегралов:

1. ;

2.

3.

4.

5.

6.

7. ;

8.

9.

10.

11.

Справедливость этих формул можно проверить дифференцированием.

3. Непосредственное интегрирование.

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким таблич­ным интегралам.

Пример 1. Найти интеграл:

Решение: воспользуемся определением степени с отрицательным показателем (aⁿ = l/aⁿ, a ≠0) и найдем неопределенный интеграл от степени:

.

Пример 2. Найти интеграл:

Решение: Воспользуемся определением степени с дробным показателем

и найдем неопределенный интеграл от степени:

Пример 3. Найти интеграл:

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями найдем неопреде­ленный интеграл от степени:

Пример 4. Найти интеграл:

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем ,

правилами действий над степенями с одинаковыми основаниями , правилом деления суммы на число и найдем интеграл от каждого слагаемого отдель­но.

Заметим, что произвольные постоянные, входящие по определению в каждый из сла­гаемых неопределенных интегралов, объединяются в одну произвольную постоянную.

Пример 5. Найти интеграл:

Решение. Раскроем скобки по формуле (a - b)²=a² - 2ab + b² и неопределенный интег­рал от полученной алгебраической суммы функций заменим такой же алгебраической сум­мой неопределенных интегралов от каждой функции:

Пример 6. Найти интеграл:

Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся формулой ctg²x = 1/sin²x - 1 и свойствами неопределенного интеграла:

4. Интегрирование методом подстановки.

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных пре­образований, то в этом случае пользуются методом подстановки.

Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной уда-ется свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берегся не­посредственно.

Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:

1) часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной;

2) найти дифференциал от обеих частей замены;

3) все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

4) найти полученный табличный интеграл;

5) сделать обратную замену.

Пример 7. Найти интеграл:

Решение. Произведем подстановку 5-3x=f, тогда 3dx=df, откуда dx= -l/3dx. Далее получаем:

Пример 8. Найти интеграл:

Решение. Сначала положим 2+cosx=t тогда sin x dx=-dt, откуда sin x dx=-dt Далее получаем:

Пример 9. Найти интеграл:

Решение. Положим 2+3ex=t, тогда 3exdx=dt откуда exdx=1/3.Далее получаем:

Пример 10. Найти интеграл:

Решение. Положим x/2=t, тогда 1/2dx=dt, откуда dx =2dt. Далее получаем:

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы (k≠0, n≠0 - постоянные):

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. Так, при нахождении можно использовать

формулу: где k1/2. Тогда