IV. Неопределённый интеграл.

Понятие неопределенного интеграла. Напомним, что дифференцирование — это действие, с помощью которого по данной функции находится ее производная или дифферен­циал. Например, если F(x) = x⁵ , то F'(x)=5х⁴ , dF′(x) = 5х⁴dx .

Как мы знаем, нахождение производной имеет большое пракгическое значение. Так, по данному закону движения тела s = s(t) мы путем дифференцирования находили скорость

v(t)= St, а затем и ускорение a(t) = s"t по данному уравнению кривой у = f(х) определяли угловой коэффициент касательной, проведенной к этой кривой: k =f ′(x).

На деле, однако, часто приходится решать обратную задачу: по известной скорости движения тела устанавливать закон его движения, по данному угловому коэффициенту касательной к кривой находить уравнение этой кривой и т. п., иначе говоря, по данной производной отыскивать функцию, от которой найдена эта производная, т. е. выполнять действие, обратное дифференцированию. Это действие называется интегрирова­нием. С помощью интегрирования поданной производной или дифференциалу функции нахо­дится сама функция. Например, если F'(x)=9х⁸ , то F(х)=х⁹, так как (х9)′= 9х⁸.

Дифференцируемая функция F(x), а<х<b называется первообразной для функции f(х) на интервале а<х<b, если F'(x)= f(х) для каждого а<х<b.

Так, для функции f(x)=соsх первообразной служит функция F'(x)= sin x, поскольку

(sin х)'= cosx.

Для заданной функции ее первообразная определяется неоднозначно.

Справедлива теорема: если F(x)—первообразная для f(x) на некоторой промежутке, то и функция F(x)+ С, где С — любая постоянная, также является первообразной для функции f(x) на этом промежутке. Обратно: каждая функция, являющаяся первообразной для f(х) в данном промежутке, может быть записана в виде F(x)+C.

Значит, достаточно найти для данной функции f(x) только одну первообразную функ­цию F(x), чтобы знать все первообразные, так как они отличаются друг от друга только на постоянную величину.

Совокупность F(x)+C всех первообразных функций на интервале а<х<b называют

неопределенным интегралом от функции f(х) на этом интервале и пишут: ∫(x)dx=F(x)+C.

Здесь f(x)dx — подынтегральное выражение; f(x) — подынтегральная функция; х — перемен­ная интегрирования; С — произвольная постоянная.

Н апример:

, так как

Если функция f(x) имеет на некотором промежутке хотя бы одну первообразную, то ее называют интегрируемой на этом промежутке. Можно доказать, что любая функция, непре­рывная на отрезке а < х < b, интегрируема на этом отрезке.

1. Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

2. Неопределенный интеграл, от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с производной постоянной, т. е.

∫dF(x) = F(x) + C.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

∫af(x)dx = a∫f(x)dx.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

∫(f₁ (х) ± f₂ (x))dx =∫ f₁(x)± ∫f₂(x )dx.