2.8.2. Достаточные признаки наличия экстремума для функций двух и трех переменных.

1) Функция двух независимых переменных z = f(x,y).

Пусть функция z трижды дифференцируема и точка х₀ - стационарная, т.е. . Введём обозначения:

Тогда:

а) если а₁₁ > 0 и δ > 0, то точка х₀ - точка минимума;

б) если a₁₁< 0 и δ > 0, то точка х₀ - точка максимума;

в) если δ < 0, то точка х₀ не является точкой экстремума.

2) Функция трех независимых переменных и = f(x,y,z).

Пусть функция и трижды дифференцируема и точка х₀ стационарная, т.е. . Обозначим:

и .

Тогда, если:

а) а₁₁ > 0, δ > 0, ∆ > 0, то точка х₀ - точка минимума;

б) a₁₁< 0 и δ > 0, ∆ < 0, то точка х₀ - точка максимума;

в) δ < 0, то х₀ - не является точкой экстремума.

Например.

Исследовать функцию и = х² +у² + z² - 4x - 6y - 2z + 10 на экстремум.

Найдём стационарные точки функции: то есть

x₀ (2,3,1,) – стационарная точка.

Воспользуемся достаточным условием экстремума функции трёх переменных, для этого вычислим частные производные второго порядка в точке x₀ (2,3,1,):

и найдём

Так как а₁₁ > 0, δ > 0, ∆ > 0, то точка х₀ - точка минимума.

u_min=2²+3²+1²-4∙2-6∙3-2∙1+10= -4. Ответ: u_min= -4 в точке x₀ (2,3,1,).

2.8.3. Условный экстремум функции многих переменных.

Пусть u= f(x₁,x₂,…,x_n) - функция п независимых аргументов и задано т уравнений, связывающих аргументы функции (т<п):

. Такие уравнения называются уравнениями связи.

Точка x₀(x₁⁰, x⁰₂,...,x⁰_n), координаты которой удовлетворяют всем уравнениям связи, называется точкой условного максимума (минимума) функции u= f(x₁,x₂,…,x_n), если существует окрестность точки х₀, для всех точек х которой, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство: f(х₀)>f(х) (f(х₀)<f(х)).

Например, пусть задана функция трех переменных и= f(x,y,z) и уравнение связи F₁(x,y,z) = 0. Геометрически это означает, что экстремум функции и ищется среди точек расположенных на поверхности, задаваемой уравнением F₁(x,y,z) = 0. Если записать еще одно уравнение связи F₂(x,y,z) = 0, то геометрически это будет означать, что экстремум функции и разыскивается на кривой линии, которая является пересечением поверхности F₁(x,y,z)=0 и поверхности F₂(х,у,z)= 0.

Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа:

L(x₁,…, x_n, λ₁,…, λ_m)=f(x₁,…, x_n)+ λ₁F₁(x₁,…, x_n)+ λ ₂F₂(x₁,…, x_n)+…+ λ_mF_m(x₁,…, x_n),

где λ _i - постоянные, так называемые множители Лагранжа, .

Таким образом, возможные точки условного экстремума находят из системы п+т уравнений:

Наличие или отсутствие экстремума в найденных стационарных точках уста­навливают с помощью достаточных признаков, применяя их к функции Ла-гранжа.

Задача на условный экстремум возникает, в частности, тогда, когда необходимо найти наибольшее и наименьшее значение функции на границе какой-либо области.

Для отыскания глобального экстремума функции многих переменных задан­ной в замкнутой области S надо:

1. Найти все стационарные точки функции в этой области и точки, в которых

она не дифференцируема.

2. Вычислить значение функции во всех этих точках.

3. Используя уравнения связи, которые задают границы области, составить

функцию Лагранжа и решить задачу на условный экстремум функции, то есть найти максимальное и минимальное значение функции на границе области.

4. Выбрать наибольшее и наименьшее значение среди набора чисел, полу- ченных в пунктах 2 и 3.