2.7. Геометрические приложения частных производных.

2.7.1.Уравнение касательной и нормальной плоскости к пространствен­ной кривой.

П усть кривая L задана параметрически, т.е. α < t < β. Пусть точке М₀ соответствует значение параметра t₀:

Касательной к кривой L в точке М₀ называется прямая, являющаяся предельным положением секущей М₀М₁ при М→М₀ (Рис. 2.4.).

Уравнение касательной к пространственной кривой L в точке М₀(х₀,у₀,z₀) имеет вид:

Нормальной плоскостью к кривой L в точке М₀ называется плоскость, проходящая через точку М₀ перпендикулярно касательной в этой точке. Уравнение нормальной плоскости:

x'(t₀)(x-x₀) + y'(t₀)(y-y₀) + z'(t₀)(z-z₀) = 0.

2.7.2. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

Пусть поверхность S задана уравнением F(x,y,z) = 0 и пусть функция F имеет непрерывные частные производные в окрестности точки M₀(x₀,y₀,z₀), лежащей на поверхности S.

Касательной плоскостью к поверхности S в точке М₀ называется плоскость, в которой лежит всякая касательная, проведенная в точке М₀ к любой кривой, лежащей на поверхности S и проходящей через точку М₀.

Уравнение касательной плоскости к поверхности S имеет вид:

Нормалью к поверхности S в точке М₀ называется прямая, проходящая через точку М₀ перпендикулярно касательной плоскости.

Уравнение нормали:

Например.

Написать уравнение касательной плоскости и нормали к сфере х² +у² +z² = 14 в точке М₀ (1,2,3) .

Поверхность определяется уравнением: F(x, у, z) = х² + у² + z² - R2 = 0.

Уравнение касательной плоскости: 2(x-1) + 4(y-2) + 6(z-3) = 0 или x + 2y + 3z-14 = 0.

Уравнение нормали:

2.8. Экстремум функции многих переменных.

2.8.1. Необходимое и достаточное условия экстремума.

Определение. Точка x₀(x₁⁰, x⁰₂,...,x⁰_n) называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции u= f(x₁,x₂,…,x_n), если в некоторой окрестности точки х₀, для всех точек этой окрестности выполняется неравенство: f(х₀)>f(х) или (f(х₀)<f(х)). Точки минимума и максимума носят общее название точек экстремума.

Обозначим приращение функции через ∆и=f(х)-f(х₀), тогда можно переформулировать определение экстремума:

Точка х₀ называется точкой максимума непрерывной функции u = f(x₁,x₂,...,x_n), если в некоторой окрестности точки х₀ приращение функции ∆и строго отрицательно, ∆и<0. Аналогично, х₀ - точка минимума, если ∆и >0.

Теорема. «Необходимое условие экстремума функции многих пере­менных». Если дифференцируемая функция u= f(x₁,x₂,…,x_n) достигает в точ­ке х₀ экстремума, то все частные производные функции в этой точке обра­щаются в 0:

, , ….., .

Так как полный дифференциал функции и это сумма произведений частных производных на дифференциалы аргументов, то можно сказать, что необходимым условием экстремума функции многих переменных является равенство нулю полного дифференциала этой функции в точке экстремума:

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, называют­ся стационарными. Следовательно, если х₀ - точка экстремума функции u= f(x₁,x₂,…,x_n), то либо х₀ - стационарная точка, либо в этой точке функция не дифференцируема.

Теорема. «Достаточное условие экстремума функции многих пере­менных». Трижды дифференцируемая в стационарной точке x₀(x₁⁰, x⁰₂,...,x⁰_n) функция u= f(x₁,x₂,…,x_n):

1. Имеет в этой точке экстремум, если дифференциал второго порядка функции и в точке х₀ знакопостоянен и обращается в 0 только при выполнении условия: dx₁ =dx₂ = ... = dx_n =0. Причем, точка х₀ является точкой максимума, если и, х₀- точкой минимума, если

2. Если дифференциал второго порядка меняет знак в окрестности х₀, то точка х₀ не является точкой экстремума.

3. Если дифференциал второго порядка не меняет знак в окрестности точки х₀, но обращается в 0 при некоторых наборах значений dx₁,dx₂,...,dx_n, среди которых есть отличные от 0, то функция u= f(x₁,…,x_n) в точке х₀ может иметь экстремум, а может и не иметь его ( в этом случае необходимо дополнительное исследование).