Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.
Пусть z = f(x,y) дифференцируемая в
точке М0(х0,у0)
функция, тогда полное приращение функции
можно записать в виде:
,
где α→0 при ∆х→0 и ∆y→0,
то есть полное приращение функции и
полный дифференциал функции есть
эквивалентные бесконечно малые при
.
Таким образом, справедлива формула
для приближенного вычисления приращения
функции или приближенного вычисления
значения функции в точке:
f ( x, у)- f(x0, у0 ) ≈ f 'x (х0, у0 ) ∙ (х - х0 ) + f 'y (х0, у0) ∙ (у - у0 ) или
f ( x, у) ≈ f(x0, у0 ) + f 'x (х0, у0 ) ∙ (х - х0 ) + f 'y (х0, у0) ∙ (у - у0 )
Например.
Найти значение функции
в точке (2.99, 4.03).
Возьмем x0=3, y0
=4, тогда
Поскольку z(3,4) = 5, (х-х0) = -0.01, (y-y0) = 0.03, то окончательно получаем:
z (2,99; 4,03) ≈ 5 +
(-0,01)+
(0,03) ≈ 5,018 .
2.4.3. Дифференциалы высших порядков
Определение. Дифференциалом второго порядка d2u функции u= f(x1,x2,…,xn) называют дифференциал от ее дифференциала первого порядка du, рассматриваемого как функция переменных x1,x2,…,xn при фиксированных значениях dx1,dx2,...,dxn: d2u=d(du).
Аналогично определяется дифференциал k-го порядка: d ku = d(d k-lu).
Дифференциал k-гo порядка функции u= f(x1,x2,…,xn), где x1,x2,…,xn - независимые переменные, выражается символической формулой:
которая формально раскрывается по биномиальному закону.
Например, для функции двух переменных z= f(x,y) можно записать:
2.5. Дифференцирование сложной функции.
Пусть u = f(xl,...,xn) - дифференцируемая функция переменных х1,...,хп, которые сами являются дифференцируемыми функциями переменной t: xi=φi(t), тогда полная производная сложной функции u=f(φ1(t),(φ2(t),...,(φn(t)) по аргументу t выражается формулой:
В частности, если t совпадает с одной из переменных, например х1, то полная производная функции u= f(x1,x2,…,xn) по х1 равна:
Например.
Найти полную производную функции
,
если
,
у = log2t,
z = cost.
В общем случае, если u= f(x1,x2,…,xn) - дифференцируемая функция переменных х1,...,хп, которые сами являются дифференцируемыми функциями m переменных t1,t2,...,tm: xi=φi(t1,t2,...,tm), , частные производные сложной функции и = F(t1,t2,...,tm) по аргументам t1,t2,...,tm выражаются формулами:
……………………………………….
Причём, переменные t1, t2,...,tm называют независимыми аргументами функции u=f[x1(t1,...,tm),...,xn(t1,...,tm)], а переменные х1,...,хп - зависимыми или промежуточными аргументами.
Например.
Найти производные функции z = sin u ∙ev по независимым аргументам, если и = 3х +7у, v=xy.
Имеем:
2.6. Дифференцирование неявно заданной функции.
Пусть функция u= f(x1,x2,…,xn) задана уравнением F(x1,x2,...,xn,u) = 0, связывающим значение функции и аргументов, и неразрешённым относительно функции и. В этом случае говорят, что функция и задана неявно. Не всякое уравнение F(x1,x2,...,xn,u) = 0 определяет некоторую функцию.
Например, уравнение x2+y2+z2 =-1 не имеет действительных решений и не задает никакой функции.
Теорема" О существовании неявно
заданной функции". Если в некоторой
окрестности точки x0(x10,
x02,...,x0n,
u0) функция
F(x1, x2,...,xn,
u) имеет непрерывные частные производные
,
и F(x10,
x02,...,x0n,
u0)
кроме того частная производная F'u
в точке М0 не обращается в 0
,
тогда уравнение F(x1,x2,...,xn,u)
= 0 в некоторой окрестности точки х0
определяет и, как неявно заданную
однозначную функцию своих аргументов
х1,...,хn,
и частные производные функции u=
f(x1,x2,…,xn)
в точке x0(x10,
x02,...,x0n)
вычисляются по формулам:
Частные случаи:
1. Неявно заданная функция одного
аргумента F(x,y) = 0:
2. Неявно заданная функция двух аргументов
F(x,y,z) = 0:
Например.
Найти частные производные неявно заданной функции x2y3z4 +exyz - 1 = 0 по аргументам х и у:
Имеем:
