2.3 Частные производные функции многих переменных.

2.3.1. Определение частной производной и её геометрический смысл.

Пусть дана функция u = f(x_l,x₂,...,x_n). Зафиксируем все переменные, кро­ме одной х_i, а переменной x_i дадим приращение ∆х_i, тогда получим частное приращение функции u = f(x_l,x₂,...,x_n) по переменной x_i:

Определение. Частной производной функции u = f(x_l,x₂,...,x_n) по пере­менной х_i называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х_i к приращению этой переменной ∆х_i, при ∆х_i → 0.

Частную производную обозначают и другими символами: u Вычислять частную производную функции многих переменных по одному аргументу следует по обычным правилам и формулам дифференцирования, в предположении, что все остальные аргументы - постоянные величины.

Например.

Найти частные производные функции z = f(x,y) = x ∙ tg(xy²) по аргументам х и у.

Считая у постоянной, находим:

Считая х постоянной, находим:

Частная производная функции двух переменных z = f(x,y), вычисленная по переменной х в фиксированной М₀(х₀,у₀) выражает скорость изменения данной функции в направлении оси Ох или скорость изменения функции z = f(x,y₀) одной переменной х.

Ч астные производные функции z=f(x,y) в точке М₀(х₀,у₀) имеют следующий Геометрический смысл: z′_x(x₀,y₀)=tgα и z′_y(x₀,y₀)=tgβ где α- угол между осью Ох и ка­сательной проведенной в точке N(х₀,у₀,f(х₀,у₀))к линии пересе­чения поверхности

z = f(x,y) и плоскости у=у₀. β - угол между осью Оу и касательной в той же точке к линии пересечения по­верхности z=f(x,y) и плоскости х = х₀.

2.3.2. Частные производные высших порядков.

Частные производные функции нескольких переменных u=f(x₁,…, x_n) называют также частными производными первого порядка.

Определение. Частными производными второго порядка функции u=f(x₁,…, x_n) называются соответствующие частные производные от ее первых частных производных. Обозначаются:

или Для функции z=f(x,y):

- частная производная второго порядка от функции z по аргументу x.

- смешанная частная производная второго порядка.

- смешанная частная производная второго порядка.

Определение. Частной производной п- го порядка от функции u = f(x₁,x₂,…,x_n) называется частная производная от ее (n-1) частной произ­водной по соответствующему аргументу.

Справедливо утверждение: смешанные частные производные одного и того же порядка, отличающиеся только порядком выполнения дифференци­рования равны между собой там, где они являются непрерывными функция­ми.

Например.

Если функция z = z(x, у) непрерывна вместе с частными производными, то справедливы равенства:

2.4. Полный дифференциал функции многих переменных.

2.4.1. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

Определение. Пусть функция u = f(x₁,x₂,…,x_n) определена в некоторой области X Rⁿ Придадим каждому аргументу х_i- некоторое приращение ∆х_i, . Полным приращением функции u = f(x₁,x₂,…,x_n) в точке x =(x₁,x₂,…,x_n), соответствующим приращениям аргументов ∆х₁, ∆х₂, …, ∆х_n называют разность: ∆u= f (x₁+х₁,…,x_n+∆х_n) - f (x₁,…,x_n).

Определение. Функция u=f(x) называется дифференцируемой в точке x =(x₁,x₂,…,x_n), если в окрестности этой точки полное приращение ∆u этой функции может быть представлено в виде:

∆u=A₁∙∆х₁+A₂∙∆x₂+…+A_n∙∆x_n+α∙ρ, где и числа А₁,А₂, ..., А_n не зависят от приращений ∆х₁, …, ∆x_n.

Определение. Полным дифференциалом du первого порядка функции u = f(x₁,x₂,…,x_n) в точке x =(x₁,x₂,…,x_n) называется главная часть полного при­ращения этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно приращений аргументов ∆х₁, …, ∆x: ∆du=A₁∙∆х₁+A₂∙∆x₂+…+A_n∙∆x_n.

Дифференциалы независимых переменных по определению принима­ются равными их приращениям: dx₁=∆х₁, dx₂=∆х₂,…, dx_n=∆х_n. Можно пока­зать, что числа А₁,А₂, ..., А_n совпадают со значениями частных производных функции u = f(x_i,...,x_n) в точке x =(x₁,x₂,…,x_n). Таким образом, полный диф­ференциал функции многих переменных вычисляется по формуле:

Например, для функции двух переменных z = f(x,y) полный дифферен­циал имеет вид

Необходимым условием дифференцируемости функции многих перемен­ных в точке является существование всех частных производных функции в этой точке.

Достаточным условием дифференцируемости функции u= f(x₁,x₂,…,x_n) в точке x=(x₁,x₂,…,x_n) является существование и непрерывность всех частных производных функции в этой точке.