2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

2.1. Определение функции многих переменных.

Упорядоченную совокупность п действительных чисел называют точкой и обозначают х = (х₁,х₂,...,х_п), а сами числа х₁,х₂,...,х_п называют координатами точки х. Множество всех таких точек называется арифметическим п-мерным пространством Rⁿ.

Арифметическое п - мерное пространство Rⁿ называется п - мерным евклидовым пространством, если для любых двух точек х=(х₁, ,х₂,...,х_n) и у = (y₁,у₂,…;y_n) принадлежащих Rⁿ, расстояние между ними определяется по формуле:

Пусть х₀ =(х⁰₁,х⁰₂,...,х_n⁰)- некоторая фиксированная точка пространства Rⁿ.

Множество точек х=(х₁, ,х₂,...,х_n) Rⁿ, координаты которых удовлетворяют условию: - называется замкнутым п- мерным шаром радиуса R с центром в точке х₀.

Множество точек х=(х₁, ,х₂,...,х_n) Rⁿ таких, что , называется - окрестностью точки х₀ (обозначают ). Например, в трехмерном евклидовом пространстве R³ это открытый шар радиуса .

Множество точек х=(х₁, ,х₂,...,х_n) Rⁿ, координаты которых заданы как непрерывные функции х_i=х_i(t) определенные на отрезке t [a,b] называется непрерывной кривой в пространстве. Аргумент t называется параметром кривой.

Определение. Если каждой точке множества поставлено в соот­ветствие действительное число и, то говорят, что на множестве D задана числовая функция п - переменных х₁, ,х₂,...,х_n т.е. u = f(х₁, ,х₂,...,х_n) = f(x). Множество D называется областью определения функции

и = f(х).

В случае п=2, функцию двух переменных чаще обозначают z = f(х,у)и рассматривают как функцию координат точек плоскости хОу. Графиком этой функции является множество точек (x,y,f(x,y)), которое задает некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Например, - функция двух переменных, ее график - эллиптический параболоид.

Н апример, - функция двух переменных, ее график - эллиптический параболоид (Рис 2.1.).

В случае функции трех переменных, обозначаемой и = f(x,y,z), график функции построить невозможно, но о характере поведения можно судить, построив, так называемое, семейство поверхностей уровня, уравнения которых есть f(x,y,z)=C, С-const. Каждая из таких поверхностей есть множество точек, в которых функция име­ет постоянное значение. Например, для функции z = x² +y² + z² поверхностями уровня будут концентрические сферы с центром в начале координат ( Рис 2,2.).

2.2. Предел и непрерывность функции многих переменных.

Пусть дана функция u = f(х₁, ,х₂,...,х_n), определенная на множестве X Rⁿ.

Определение. Число а называется пределом функции u = f(х₁, ,х₂,...,х_n) при стремлении точки х=(х₁, ,х₂,...,х_n) к точке х₀ =(х⁰₁,х⁰₂,...,х_n⁰) по множеству X, если для любого числа существует такое число , что для всех точек х Х, таких что выполняется неравенство:

Обозначают:

В силу данного определения основные теоремы о пределах, справедливые для функции одной действительной переменной, справедливы и для функции п переменных.

Например.

Вычислить предел

Имеем:

Определение. Функция u = f(x_l,x₂,...,x_n) называется непрерывной в точке х₀ =(х⁰₁,...,х_n⁰) если она определена в некоторой окрестности этой точки и существует предел функции u = f(x_l,x₂,...,x_n) при х→х₀ равный значению функции в точке х₀:

Замечание. Из непрерывности функции по совокупности аргументов вытекает ее непрерывность и по каждому из аргументов в отдельности, но обратное неверно.

Если функция непрерывна в каждой точке области, то она называется непрерывной в этой области. Точки области определения, в которых функция теряет непрерывность, называются точками разрыва функции. В силу данных определений основные теоремы о непрерывных функциях, справедливые для функции одной переменной, справедливы и для функций п переменных.