1.17.2. Экстремумы функции.

Точка х₀ называется точкой максимума (минимума), если существует та­кая окрестность этой точки, что для любой точки х этой окрестности выпол­няется неравенство: f(х₀) > f(х) (f(х) > f(х₀)). Точки минимума и максимума носят общее название точек экстремума.

Теорема "Необходимый признак экстремума функции одного аргу­мента". Если х0 является точкой экстремума, то f '(x₀) = 0 либо f '(х₀) не су­ществует.

Точки, в которых выполняется необходимое условие, называют критически­ми.

Например.

Для функции у = х ³ - 3х критическими точками являются x₁= - 1 и х₂ = 1, так как у' = 3х²- 3 = 0 при х₁= -1 и х₂=1.

Теорема "Первый достаточный признак экстремума функции одного аргумента". Если f(х) непрерывна в критической точке х₀, дифференциру­ема в некоторой её окрестности, за исключением быть может самой точки х₀ , и при переходе через точку х₀ производная функции меняет свой знак с + на -, то х₀ является точкой максимума, если производная меняет знак с - на +, то х₀ - точка минимума, если производная не меняет знака при переходе через х₀, то х₀ не является точкой экстремума.

Например.

Для функции у = x³ - 3х; у' = 3х² - 3 = 3(х - 1)(х +1) и производная меняет свой знак с + на - в точке х₁= -1 и, следовательно, х₁ является точкой максимума, а в точке

х₂ = 1 производная меняет знак с - на + и х₂ -точка минимума этой функции.

Теорема "Второй достаточный признак наличия экстремума". Если в критической точке х₀ функции f(х) обращаются в ноль не только её первая производная f ′(х₀), но и все последующие производные до (n-1) – го порядка включительно f ′(х₀)= f ′′(х₀)=…= f ^(n-1)(х₀)=0, а производная n-го порядка существует и отлична от нуля f ⁽ⁿ⁾(х₀)≠0, то точка х₀ будет точкой экстремума, если число и чётное и не будет ею, если п нечетное. Характер экстремума при чётном п определяется по знаку производной n-го порядка f⁽ⁿ⁾(x0): если f⁽ⁿ⁾(х₀)>0, то х₀ -точка минимума, а если f⁽ⁿ⁾(х₀)<0, то точка максимума.

Например.

Для функции у=х⁵ в критической точке х₀=0, обращаются в 0 у' = 5х⁴, у" = 20х³, y"'= 60х² и у⁽⁴⁾= =120х, а у⁽⁵⁾= 120≠0, поскольку номер отличной от 0 производной нечётный -5, следовательно х₀= = 0 не является точкой экстремума.

Следствие. Если f'(x₀) = 0, f"(х₀) ≠0, то при f"(х₀)<0 точка х₀ есть точка максимума, а при f"(х₀) > 0 х₀ точка минимума.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [а,b] надо:

1. Найти критические точки функции.

2. Выбрать из критических точек те, которые принадлежат отрезку [а,b].

3. Вычислить значение функции в выбранных точках и на концах отрезка.

4. Выбрать набольшее и наименьшее значение из полученных значений функции.

1.17.3. Выпуклость и вогнутость графика функции.

График функции f(x) называется выпуклым (вогнутым) на отрезке [а,b], если точки графика функции лежат ниже (выше) любой касательной, проведенной к графику функции на отрезке [а,b] (Рис. 1.6). Точки, в которых график дифференцируемой функции меняет выпуклость на вогнутость и наоборот, называют точками перегиба. (Рис. 1.7.).

Теорема "Признак выпуклости и вогнутости графика функции". Если функция f(x) дважды дифференцируема на промежутке (а,b) и f"(х)<0 ,(f"(х)>0), то график функции на промежутке (а,b) выпуклый (вогнутый).

Теорема "Необходимый признак точки перегиба графика функции". Если функция f(х) дважды непрерывно дифференцируема в точке х₀, и точка х₀ является точкой перегиба, то f"(x₀) = =0.

Теорема "Достаточный признак точки перегиба графика функции". Если f(x) дифференцируема в точке х₀ и дважды дифференцируема в ее окрестности и при переходе через точку х₀ f"(x) меняет знак, то х₀ является точкой перегиба.

Например.

Для функции у = х³-3х вторая производная y" = 6x = 0, если х = 0. Очевидно, что при переходе через х = 0 у" меняет свой знак с минуса на плюс, следовательно, х₀ = 0 явля­ется точкой перегиба и кроме того, при х < 0 график функции выпуклый, а при х > 0 вогнутый.