I. Неопределённости вида и .

Теорема Бернулли-Лопиталя. Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки х₀, за исключением самой точки х₀, и g'(x) ≠ 0 в окрест­ности точки х₀. Если f(x) и g(x) являются одновременно либо бесконечно малыми (то есть ) либо бесконечно большими (то есть ) при x→x₀ и при этом существует предел отношения

их производных при x→x₀, то существует и предел отношения самих функции , причем:

Теорема справедлива и в том случае, если х₀ = ∞.

Например.

1. 

2. 

3. Иногда правило Лопиталя применяют несколько раз:

Продифференцируем n раз при a >1.

II. Неопределённости вида 0 ∙ ∞ и (∞ - ∞).

Для вычисления f(x) ∙ g(x), где f(х)- бесконечно малая функция, а g(x)- бесконечно большая функция при x→x₀ ( неопределенность 0 ∙ ∞) необходимо преобразовать произведение к виду ( неопределенность ) или к виду ( неопределенность ).

Например.

Для вычисления (f(x)-g(x)), где f(х) и g(x) - бесконечно большие функции при x→x₀ (неопределенность ∞ - ∞) необходимо преобразовать разность к виду f(x)∙ и затем рассмотреть неопределённость типа . Если ≠ 1, то (f(x)-g(x))= ∞. Если же =1, то f(x)∙ является неопределённостью типа 0 ∙ ∞, рассмотренной выше.

Например.

III. Неопределенности вида 1 ∞, ∞0 и 00.

К неопределенностям таких типов приходят при вычислении предела выражения f(x)^g(x). Для их раскрытия выражение логарифмируют и вычис­ляют предел который является неопределенностью 0 ∙ ∞ и сводится к или .

Например.

Вычислить предел:

Прологарифмируем выражение:

Вычислим предел логарифма:

Так как f(x)^g(x)= то

1.16. Формула Тейлора.

Формула Тейлора ставит в соответствие функции f(x) многочлен, значение которого в точке х₀ и п его производных совпадают со значением f(х₀) и её производных в той же точке.

Теорема. Пусть функция f(х) (п+1) - раз непрерывно дифференцируема в ин­тервале (a,b), тогда для каждой точки x₀ (a,b) и х (a,b) справедлива формула Тейлора:

где 0<0<1 - остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Теорема позволяет любую функцию, удовлетворяющую условиям теоремы, заменить в окрестности точки х₀ многочленом с точностью до бесконечно малой более высокого порядка малости, чем члены многочлена при x→x₀. Это делает формулу Тейлора удобной для приближенных вычислений.

Например.

Разложить функцию lп(1 + х) в окрестности точки х₀ = 0.

Вычислим производные функции в точке х₀ = 0.

Подставим производные и х₀ = 0 в формулу Тейлора:

Окончательно,

1.17. Исследование функций с помощью производных.

1.17.1. Монотонность функции.

Теорема "Признак монотонности функции". Если функция f(х) дифференцируема на промежутке (а,b) и её производная на этом промежутке положительна (отрицательна), то функция f(х) на промежутке (а,b) возрастает (убывает).

Например.

Найти промежутки монотонности функции у = х².

Найдём производную у' = 2∙х. Очевидно, что при х > 0 у' > 0, и функция возрастающая, а при х < 0 у' < 0, и функция убывающая.