1.13. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

1.13.1. Дифференциал первого порядка.

Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀, то её приращение может быть представлено в виде:

Дифференциалом функции у=f(x) в точке х₀ называют главную часть приращения функции, пропорциональную приращению аргумента ∆х и обо­значают: dy = у'(х₀)-∆х.

Рассмотрим функцию у = х: у′= 1, следовательно dx = 1 • ∆х, то есть диф­ференциал и приращение независимой переменной совпадают, тогда, dy = у'(х₀) ∙ dx - формула для вычисления дифференциала функции.

Геометрическая интерпретация диффе­ренциала функции заключается в том, что дифференциал функции в точке х₀ при за­данном приращении ∆х равен приращению ординаты касательной, проведённой к гра­фику функции в точке с абсциссой х₀.

1.13.2. Дифференциалы высших порядков.

Дифференциалом 2-го порядка от функции у = f(x) называется диффе­ренциал от ее первого дифференциала, вычисленный в предположении, что dx постоянная величина (х - независимая переменная), обозначается:

Аналогично определяются дифференциалы высших порядков, т.е. d ⁿy = d(d^n-1y) = y ⁽ⁿ⁾dx ⁿ

( здесь х- независимая переменная).

Например.

Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядка функции Имеем:

- дифференциал первого порядка.

- дифференциал второго порядка.

1.14. Теоремы о дифференцируемых функциях.

Определение. Точка х₀ называется точкой максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для любой точки х этой окрестности выполняется неравенство:

f(х₀) > f(x) ( f(х) > f(x₀)).

Теорема Ферма.

Пусть функция f определена в некоторой окрестности х₀ точки и принима­ет в этой точке наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если при х = х₀ существует производная, то она равна нулю ( f '(x₀) = 0).

Теорема Ролля.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а,b], дифференцируема на интер­вале (а,b) и принимает на концах отрезка [а,b] равные значения (f(a)=f(b)), то на интервале (а,b) найдется хотя бы одна точка х₀, в которой производная равна нулю: f '(x₀) = 0, х₀ (a,b).

Следствие. Если функция непрерывна на некотором отрезке, обращает­ся в ноль на его концах и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует его внутренняя точка, в которой производная обращается в ноль. Коротко говоря, между двумя нулями дифференцируемой функции все­гда лежит хотя бы один ноль ее производной.

Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а,b], дифференцируема во всех его внутренних точках, то найдется хотя бы одна точка х₀ (а,b), что спра­ведлива формула

f(b)-f (а) = f '(x₀ )(b - а).

Эту формулу называют формулой конечных приращений Лагранжа.

Теорема Коши.

Если функции f(х) и g(x) непрерывны на отрезке [а,b] и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем g'(x) не обращается в 0, то найдется хотя бы одна точка х₀ (а,b) такая, что справедлива формула

(формула Коши).

1.15. Правило Бернулли-Лопиталя для раскрытия неопределенностей.

Вычисляя пределы функций, при непосредственной подстановке в функцию значения, к которому стремится х, часто получают выражения ви­да: , по которым нельзя сделать вывода о существовании и значении предела. Эти выражения называются неопределенно­стями, а нахождение таких пределов - раскрытием неопределенностей.